真题库

设非负函数$f(x)$在$[0,+\infty )$上连续。给出命题：① 若${\int }_0^{+\infty }{f}^2(x)\mathrm{d}x$收敛，则${\int }_0^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$收敛；② 若存在$p>1$使$\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^{p}f(x)$存在，则该反常积分收敛；③ 若该反常积分收敛，则存在$p>1$使上述极限存在。正确命题个数为（　　）。

设$y=y(x)$满足方程$x^2{y}^{\prime \prime }+x{y}^{\prime }-9y=0$，且$y{|}_{x=1}=2,y^{\prime }{|}_{x=1}=6$。

设$t>0$，平面区域$D$由曲线$y=x{\mathrm{e}}^{-2x}$、直线$x=t,x=2t$及$x$轴围成，其面积为$S(t)$，求$S(t)$的最大值。

设$f(u,v)$具有二阶连续偏导，$g(x,y)=f(2x+y,3x-y)$，且$g_{xx}+g_{xy}-6g_{yy}=1$。

曲线$y={\int }_{-\sqrt{3}}^x\sqrt{3-t^2}\mathrm{d}t$的弧长为 。

设某公司在$t$时刻的资产为$f(t)$，从 0 时刻到$t$时刻的平均资产等于$\frac{f(t)}{t}-t$。假设$f(t)$连续且$f(0)=0$，则$f(t)=$ 。

若函数$f(a)={\int }_2^{+\infty }\frac{1}{x(\ln x{)}^{a+1}}\mathrm{d}x$在$a=a_0$处取得最小值，则$a_0=$（　　）。

已知平面区域$D=\{(x,y)|0\le y\le \frac{1}{x\sqrt{1+x^2}},x\ge 1\}$。

设连续函数$f(x)$满足$f(x+2)-f(x)=x,{\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x=0$，则${\int }_1^{3}f(x)\mathrm{d}x=$ 。

函数$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\sqrt{1+x^2}},& x\le 0\\ x\cos x+\cos x,& x>0\end{array}$的一个原函数为（　　）。

${\int }_0^2\frac{2x-4}{x^2+2x+4}\mathrm{d}x=$ 。

${\int }_1^{{\mathrm{e}}^2}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x=$ 。

设函数$y(x)$是微分方程$2x{y}^{\prime }-4y=2\ln x-1$满足条件$y(1)=\frac{1}{4}$的解，求曲线$y=y(x)$在$[1,\mathrm{e}]$上的弧长。

已知曲线$L$的极坐标方程为$r=\sin 3\theta (0\le \theta \le \frac{\pi }{3})$，则$L$围成的有界区域的面积为 。

设$p$为常数。若反常积分${\int }_0^1\frac{\ln x}{x^p(1-x{)}^{1-p}}\mathrm{d}x$收敛，则$p$的取值范围是（　　）。

若$I_1={\int }_0^1\frac{x}{2(1+\cos x)}\mathrm{d}x,I_2={\int }_0^1\frac{\ln (1+x)}{1+\cos x}\mathrm{d}x,I_3={\int }_0^1\frac{2x}{1+\sin x}\mathrm{d}x$，则（　　）。

${\int }_0^1\frac{2x+3}{x^2-x+1}\mathrm{d}x=$ 。

设函数$f(x)$在区间$[0,1]$上连续，则${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x=$（　　）。

${\int }_0^{+\infty }\frac{\mathrm{dx}}{x^2+2x+2}=$ 。

设函数$f(x)$满足$\int \frac{f(x)}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x=\frac{1}{6}{x}^2-x+C$，$L$为曲线$y=f(x)(4\le x\le 9)$。