真题库

已知函数$f(t)={\int }_1^{t^2}\mathrm{d}x{\int }_{\sqrt{x}}^t\sin \frac{x}{y}\mathrm{d}y$，则$f^{\prime }\left(\frac{\pi }{2}\right)=$ 。

${\int }_{\sqrt{5}}^5\frac{x}{\sqrt{|x^2-9|}}\mathrm{d}x=$ 。

${\int }_{-\infty }^{+\infty }|x|3^{-x^2}\mathrm{d}x=$ 。

设平面区域$D$由曲线$y=\sqrt{x}\sin \pi x(0\le x\le 1)$与$x$轴围成，则$D$绕$x$轴旋转所成旋转体的体积为 。

设函数$f(x)$的定义域为$(0,+\infty )$且满足$2f(x)+x^{2}f(\frac{1}{x})=\frac{x^2+2x}{\sqrt{1+x^2}}$。

设函数$y=f(x)$满足$y^{\prime \prime }+2y^{\prime }+5y=0$，且$f(0)=1,f^{\prime }(0)=-1$。

设函数$f(x)$满足$f^{\prime \prime }(x)+a{f}^{\prime }(x)+f(x)=0(a>0)$，且$f(0)=m,f^{\prime }(0)=n$，则${\int }_0^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x=$ 。

设函数$f(x,y)={\int }_0^{xy}{\mathrm{e}}^{x{t}^2}\mathrm{d}t$，则$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}{|}_{(1,1)}=$ 。

设平面区域$D=\{(x,y)\mid \frac{x}{2}\le y\le \frac{1}{1+x^2},0\le x\le 1\}$，则$D$绕$y$轴旋转所成的旋转体的体积为 。

设$y=y(x)$满足$y^{\prime \prime }+2y^{\prime }+y=0$，且$y(0)=0,y^{\prime }(0)=1$，则${\int }_0^{+\infty }y(x)\mathrm{d}x=$ 。

已知函数$f(x)$连续且$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=1$，$g(x)={\int }_0^{1}f(xt)\mathrm{d}t$。

斜边长为$2a$的等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中，且斜边与水面相齐。记重力加速度为$g$，水的密度为$\rho$，则该平板一侧所受的水压力为 。

${\int }_0^1\frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x(1-x)}}\mathrm{d}x=$（　　）。

曲线$y=\ln \cos x(0\le x\le \frac{\pi }{6})$的弧长为 。

求不定积分$\int \frac{3x+6}{(x-1{)}^2(x^2+x+1)}\mathrm{d}x$。

已知函数$f(x)={\int }_1^x\sqrt{1+t^4}\mathrm{d}t$，则${\int }_0^1{x}^{2}f(x)\mathrm{d}x=$ 。

设$a_n={\int }_0^1{x}^n\sqrt{1-x^2}\mathrm{d}x(n=0,1,2,\cdots )$。

已知函数$f(x)=x{\int }_1^x\frac{\sin t^2}{t}\mathrm{d}t$，则${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x=$ 。

设$n$是正整数，记$S_n$为曲线$y={\mathrm{e}}^{-x}\sin x(0\le x\le n\pi )$与$x$轴所围成图形的面积。

下列反常积分发散的是（　　）。