真题库

设函数$y(x)$是微分方程$y^{\prime }-xy=\frac{1}{2\sqrt{x}}{\mathrm{e}}^{\frac{x^2}{2}}$满足条件$y(1)=\sqrt{\mathrm{e}}$的特解。

求曲线$y={\mathrm{e}}^{-x}\sin x(x\ge 0)$与$x$轴之间图形的面积。

求解$\int {\mathrm{e}}^x\arcsin \sqrt{1-{\mathrm{e}}^{2x}}\mathrm{d}x=$ 。

已知曲线$L:y=\frac{4}{9}{x}^2(x\ge 0)$，点$O(0,0)$，点$A(0,1)$。设$P$是$L$上的动点，$S$是直线$OA$与直线$AP$及曲线$L$所围图形的面积。若$P$运动到$(3,4)$时沿$x$轴正向的速度是$4$，求此时$S$关于时间$t$的变化率。

设函数$f(x)$具有$2$阶连续导数，若曲线$y=f(x)$过点$(0,0)$且与曲线$y=2^x$在点$(1,2)$处相切，则${\int }_0^{1}x{f}^{\prime \prime }(x)\mathrm{d}x=$ 。

设函数$f(x)$在$[0,1]$上二阶可导，且${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x=0$，则（　　）。

已知连续函数$f(x)$满足${\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t+{\int }_0^{x}tf(x-t)\mathrm{d}t=a{x}^2$。

设$M={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{(1+x{)}^2}{1+x^2}\mathrm{d}x$，$N={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{1+x}{{\mathrm{e}}^x}\mathrm{d}x$，$K={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}(1+\sqrt{\cos x})\mathrm{d}x$，则（　　）。

${\int }_5^{+\infty }\frac{1}{x^2-4x+3}\mathrm{d}x=$ 。

求不定积分$\int {\mathrm{e}}^{2x}\arctan \sqrt{{\mathrm{e}}^x-1}\mathrm{d}x$。

甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方$10\mathrm{m}$处，图中实线表示甲的速度曲线$v=v_1(t)$（单位：m/s），虚线表示乙的速度$v=v_2(t)$，三块阴影部分面积的数值依次为 10、20、3，计时开始后乙追上甲的时刻记为$t_0$（单位：s），则（　　）。

${\int }_0^{+\infty }\frac{\ln (1+x)}{(1+x{)}^2}\mathrm{d}x=$ 。

计算积分${\iint }_D\frac{y^3}{(1+x^2+y^4{)}^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$D$是第一象限中以曲线$y=\sqrt{x}$与$x$轴为边界的无界区域。

求$\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{k}{n^2}\ln (1+\frac{k}{n})$。

${\int }_{-\pi }^{\pi }({\sin }^{3}x+\sqrt{{\pi }^2-x^2})\mathrm{d}x=$ 。

设二阶可导函数$f(x)$满足$f(1)=f(-1)=1$，$f(0)=-1$，且$f^{\prime \prime }(x)>0$，则（　　）。

求极限$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{{\int }_0^x\sqrt{x-t}{\mathrm{e}}^t\mathrm{dt}}{\sqrt{x^3}}$。

设函数$y(x)$满足方程$y^{\prime \prime }+2y^{\prime }+ky=0$，其中$0<k<1$。

已知函数$f(x)=\{\begin{array}{ll}2(x-1),& x<1,\\ \ln x,& x\ge 1,\end{array}$，则$f(x)$的一个原函数是（　　）。

设$D$是由曲线$y=\sqrt{1-x^2}(0\le x\le 1)$与$\{\begin{array}{l}x={\cos }^{3}t\\ y={\sin }^{3}t\end{array}(0\le t\le \frac{\pi }{2})$围成的平面区域。