真题库

若反常积分${\int }_0^{+\infty }\frac{1}{x^a(1+x{)}^b}\mathrm{d}x$收敛，则（　　）。

设函数$f(x)$连续，且满足${\int }_0^{x}f(x-t)\mathrm{d}t={\int }_0^x(x-t)f(t)\mathrm{d}t+{\mathrm{e}}^{-x}-1$，求$f(x)$。

反常积分① ${\int }_{-\infty }^0\frac{1}{x^2}{\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}}\mathrm{d}x$，② ${\int }_0^{+\infty }\frac{1}{x^2}{\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}}\mathrm{d}x$的敛散性为（　　）。

已知函数$f(x)$在$(-\infty ,+\infty )$上连续，且$f(x)=(x+1{)}^2+2{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$，则当$n\ge 2$时，$f^{(n)}(0)=$ 。

已知$f(x)$在$[0,\frac{3\pi }{2}]$上连续，在$(0,\frac{3\pi }{2})$内是函数$\frac{\cos x}{2x-3\pi }$的一个原函数，且$f(0)=0$。

极限$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^2}(\sin \frac{1}{n}+2\sin \frac{2}{n}+\cdots +n\sin \frac{n}{n})=$ 。

下列反常积分收敛的是（　　）。

设$f(x)$连续，$\phi (x)={\int }_0^{x^2}xf(t)\mathrm{d}t$。若$\phi (1)=1,{\phi }^{\prime }(1)=5$，则$f(1)=$ 。

${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}(\frac{\sin x}{1+\cos x}+|x|)\mathrm{d}x=$ 。

设$A>0$，$D$是由曲线段$y=A\sin x(0\le x\le \frac{\pi }{2})$及直线$y=0,x=\frac{\pi }{2}$所围成的平面区域。$V_1,V_2$分别表示$D$绕$x$轴与绕$y$轴旋转成旋转体的体积；若$V_1=V_2$，求$A$的值。

已知函数$f(x,y)$满足$\frac{\partial f}{\partial y}=2(y+1),f(y,y)=(y+1{)}^2-(2-y)\ln y$，求曲线$f(x,y)=0$所围成的图形绕直线$y=-1$旋转所成的旋转体的体积。

一根长为 1 的细棒位于$x$轴的区间$[0,1]$上，若其线密度$\rho (x)=-x^2+2x+1$，则该细棒的质心坐标$\bar{x}=$ 。

${\int }_{-\infty }^1\frac{1}{x^2+2x+5}\mathrm{d}x=$ 。

设${\int }_0^{a}x{\mathrm{e}}^{2x}\mathrm{d}x=\frac{1}{4}$，则$a=$ 。

设$D$是由曲线$xy+1=0$与直线$y+x=0,y=2$围成的有界区域，则$D$的面积为 。

设函数$f(x)=\frac{x}{1+x},x\in [0,1]$。定义函数列$f_1(x)=f(x),f_2(x)=f(f_1(x)),\dots ,f_n(x)=f(f_{n-1}(x)),\dots$。设$S_n$是曲线$y=f_n(x)$、直线$x=1,y=0$所围平面图形的面积，求极限$\underset{n\to \infty }{\lim }n{S}_n$。

设函数$f(x),g(x)$在区间$[a,b]$上连续，且$f(x)$单调增加，$0\le g(x)\le 1$。证明：

${\int }_1^{+\infty }\frac{\ln x}{(1+x{)}^2}\mathrm{d}x=$ 。

设封闭曲线$L$的极坐标方程为$r=\cos 3\theta (-\frac{\pi }{6}\le \theta \le \frac{\pi }{6})$，则$L$所围成的平面图形的面积为 。

设$D$是由曲线$y=x^{\frac{1}{3}}$、直线$x=a(a>0)$及$x$轴所围成的平面图形，$V_x,V_y$分别是$D$绕$x$轴、$y$轴旋转一周所得旋转体的体积。若$V_y=10V_x$，求$a$的值。