真题库

计算${\int }_0^1\frac{f(x)}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x$，其中$f(x)={\int }_1^x\frac{\ln (t+1)}{t}\mathrm{d}t$。

设函数$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{(x-1{)}^{\alpha -1}},& 1<x<\mathrm{e},\\ \frac{1}{x{\ln }^{\alpha +1}x},& x\ge \mathrm{e},\end{array}$，若反常积分${\int }_1^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$收敛，则（　　）。

设函数$f(x)=\{\begin{array}{ll}\sin x,& 0\le x<\pi ,\\ 2,& \pi \le x\le 2\pi ,\end{array}$，$F(x)={\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$，则（　　）。

设曲线$L$的方程为$y=\frac{1}{4}{x}^2-\frac{1}{2}\ln x(1\le x\le \mathrm{e})$。

过$(0,1)$作曲线$L:y=\ln x$的切线，切点为$A$；$L$与$x$轴交于$B$，区域$D$由$L$与直线$AB$围成。

设$I_k={\int }_0^{k\pi }{\mathrm{e}}^{x^2}\sin x\mathrm{d}x(k=1,2,3)$，则有（　　）。

$\underset{n\to \infty }{\lim }n\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^2+n^2}=$ 。

某企业生产甲、乙产品的固定成本为$10000$万元，产量为$x,y$件，边际成本分别为$20+\frac{x}{2}$与$6+y$万元每件。

由$y=\frac{4}{x}$、$y=x$及$y=4x$在第一象限围成图形的面积为 。

计算${\iint }_D{\mathrm{e}}^{x}xy\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$D$以$y=\sqrt{x}$、$y=\frac{1}{\sqrt{x}}$及$y$轴为边界的无界区域。

${\int }_0^{2}x\sqrt{2x-x^2}\mathrm{d}x=$ 。

已知曲线$L:\{\begin{array}{l}x=f(t),\\ y=\cos t\end{array}(0\le t<\frac{\pi }{2})$，其中函数$f(t)$具有连续导数，且$f(0)=0,f^{\prime }(t)>0(0<t<\frac{\pi }{2})$。若曲线切线与$x$轴交点到切点距离恒为$1$，求$f(t)$及以$L$与坐标轴为边界的面积。

求$\int \frac{\arcsin \sqrt{x}+\ln x}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x$。

设函数$f(x)=\{\begin{array}{ll}\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda x},& x>0,\\ 0,& x\le 0\end{array}(\lambda >0)$，则${\int }_{-\infty }^{+\infty }xf(x)\mathrm{d}x=$ 。

曲线$y={\int }_0^x\tan t\mathrm{d}t(0\le x\le \frac{\pi }{4})$的弧长$s=$ 。

一容器的内侧是由图中曲线绕$y$轴旋转一周而成的曲面，该曲线由$x^2+y^2=2y(y\ge \frac{1}{2})$与$x^2+y^2=1(y\le \frac{1}{2})$连接而成。长度单位为$\text{m}$，重力加速度为$g\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$，水的密度为$10^3\frac{\mathrm{kg}}{{\mathrm{m}}^3}$。

曲线$y=\sqrt{x^2-1}$、直线$x=2$及$x$轴所围图形绕$x$轴旋转的体积为 。

已知函数$f(x,y)$具有二阶连续偏导数，且$f(1,y)=0$，$f(x,1)=0$，${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=a$，其中$D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,0\le y\le 1\}$，计算二重积分$I={\iint }_{D}xy\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

设$I={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln \sin x\mathrm{d}x$，$J={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln \cot x\mathrm{d}x$，$K={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln \cos x\mathrm{d}x$，则$I,J,K$的大小关系是（　　）。

一个高为$l$的柱体形贮油罐，底面是长轴为$2a$、短轴为$2b$的椭圆。现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为$\frac{3}{2}b$时（如图），计算油的质量。长度单位为$\text{m}$，质量单位为$\text{kg}$，油的密度为常数$\rho \frac{\mathrm{kg}}{{\mathrm{m}}^3}$。