真题库

设可导函数$y=y(x)$由方程${\int }_0^{x+y}{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t={\int }_0^{x}x\sin t^2\mathrm{d}t$确定，则$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}{|}_{x=0}=$ 。

设$m,n$是正整数，则反常积分${\int }_0^1\frac{\sqrt[m]{{\ln }^2(1-x)}}{\sqrt[n]{x}}\mathrm{d}x$的收敛性（　　）。

设函数$f(x)$在$[0,3]$上连续，在$(0,3)$内存在二阶导数，且$2f(0)={\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x=f(2)+f(3)$

设位于曲线$y=\frac{1}{\sqrt{x(1+{\ln }^{2}x)}}(\mathrm{e}\le x<+\infty )$下方、$x$轴上方的无界区域为$G$，则$G$绕$x$轴旋转一周所得空间区域的体积是 。

${\int }_0^{{\pi }^2}\sqrt{x}\cos \sqrt{x}\mathrm{d}x=$ 。

当$0\le \theta \le \pi$时，对数螺线$r={\mathrm{e}}^{\theta }$的弧长为 。

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_0^1{\mathrm{e}}^{-x}\sin nx\mathrm{d}x=$ 。

使不等式${\int }_1^x\frac{\sin t}{t}\mathrm{d}t>\ln x$成立的$x$的范围是（　　）。

椭球面$S_1$是椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$绕$x$轴旋转而成，圆锥面$S_2$是由过点$(4,0)$且与该椭圆相切的直线绕$x$轴旋转而成。

已知${\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{k|x|}\mathrm{d}x=1$，则$k=$ 。

设$a_n$为曲线$y=x^n$与$y=x^{n+1}(n=1,2,\dots )$所围成区域的面积。

设非负函数$y=y(x)(x\ge 0)$满足微分方程$x{y}^{\prime \prime }-y^{\prime }+2=0$。当曲线$y=y(x)$过原点时，其与直线$x=1$及$y=0$围成区域$D$的面积为$2$，求$D$绕$y$轴旋转所得旋转体体积。

计算不定积分$\int \ln (1+\sqrt{\frac{1+x}{x}})\mathrm{d}x(x>0)$。

设函数$y=f(x)$在区间$[-1,3]$上的图形为，则函数$F(x)={\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$的图形为（　　）。

设$f(x+\frac{1}{x})=\frac{x+x^3}{1+x^4}$，则积分${\int }_2^{2\sqrt{2}}f(x)\mathrm{d}x=$ 。

计算${\int }_0^1\frac{x^2\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x$。

设$f(x)$是连续函数。

设函数$f$连续。若$F(u,v)={\iint }_{D_{uv}}\frac{f(x^2+y^2)}{\sqrt{x^2+y^2}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中区域$D_{uv}$为图中阴影部分，则$\frac{\partial F}{\partial u}=$（　　）。

设函数$f(x)={\int }_0^{x^2}\ln (2+t)\mathrm{d}t$，则$f^{\prime }(x)$的零点个数为（　　）。