真题库

如图，曲线段方程为$y=f(x)$，函数在区间$[0,a]$上有连续导数，则定积分${\int }_0^{a}x{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x$等于（　　）。

设$f(x)$是周期为$2$的连续函数。

设函数$f(x)$具有连续的一阶导数，且满足$f(x)={\int }_0^x(x^2-t^2)f^{\prime }(t)\mathrm{d}t+x^2$，求$f(x)$的表达式。

设$f(x)$是区间$[0,\frac{\pi }{4}]$上的单调、可导函数，且满足${\int }_0^{f(x)}{f}^{-1}(t)\mathrm{d}t={\int }_0^{x}t\frac{\cos t-\sin t}{\sin t+\cos t}\mathrm{d}t$，其中$f^{-1}$是$f$的反函数，求$f(x)$。

如图，连续函数$y=f(x)$在区间$[-3,-2],[2,3]$上的图形分别是直径为$1$的上、下半圆周，在区间$[-2,0],[0,2]$上图形分别是直径为$2$的下、上半圆周。设$F(x)={\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$，则下列结论正确的是（　　）。

${\int }_1^2\frac{1}{x^3}{\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}}\mathrm{d}x=$ 。

设$D$是位于曲线$y=\sqrt{x}{a}^{-\frac{x}{(2a)}}(a>1,0\le x<+\infty )$下方、$x$轴上方的无界区域。

已知曲线$L$的方程$\{\begin{array}{l}x=t^2+1,\\ y=4t-t^2,\end{array}quadt\ge 0$。

在$xOy$坐标平面上，连续曲线$L$过点$M(1,0)$，其上任意点$P(x,y)(x\ne 0)$处的切线斜率与直线$OP$的斜率之差等于$ax$（常数$a>0$）。

广义积分${\int }_0^{+\infty }\frac{x\mathrm{d}x}{(1+x^2{)}^2}=$ 。

设$f(x)$是奇函数，除$x=0$外处处连续，$x=0$是其第一类间断点，则${\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$是（　　）。

设函数$f(x)$与$g(x)$在$[0,1]$上连续，且$f(x)\le g(x)$，且对任何$c\in (0,1)$，则（　　）。

求$\int \frac{\arcsin {\mathrm{e}}^x}{{\mathrm{e}}^x}\mathrm{d}x$。

${\int }_0^1\frac{x\mathrm{d}x}{(2-x^2)\sqrt{1-x^2}}=$ 。

设$f(x),g(x)$在$[0,1]$上的导数连续，且$f(0)=0,f^{\prime }(x)\ge 0,g^{\prime }(x)\ge 0$。证明：对任何$a\in [0,1]$，有${\int }_0^{a}g(x)f^{\prime }(x)\mathrm{d}x+{\int }_0^{1}f(x)g^{\prime }(x)\mathrm{d}x\ge f(a)g(1)$。

设函数$f(x)$连续，且$f(0)\ne 0$，求极限$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_0^x(x-t)f(t)\mathrm{d}t}{x{\int }_0^{x}f(x-t)\mathrm{d}t}$。

设$F(x)$是连续函数$f(x)$的一个原函数，表示“$M$的充分必要条件是$N$”，则必有（　　）。

如图，曲线$C$的方程为$y=f(x)$，点$(3,2)$是它的一个拐点，直线$l_1,l_2$分别是曲线$C$在点$(0,0)$与$(3,2)$处的切线，其交点为$(2,4)$。设函数$f(x)$具有三阶连续导数，计算定积分${\int }_0^3(x^2+x)f^{\prime \prime \prime }(x),\mathrm{d}x$。

如图，$C_1,C_2$分别是$y=\frac{1}{2}(1+{\mathrm{e}}^x)$和$y={\mathrm{e}}^x$的图象，过点$(0,1)$的曲线$C_3$在第一象限内是一连续严格单调增函数的图象，其反函数$x=\varphi (y)$在$[1,+\infty )$上连续且严格递增，并满足$\varphi (1)=0$以及$0<\varphi (y)<\ln y$（$y>1$）。过$C_2$上横坐标大于零的任一点$M(x,y)$分别作垂直于$x$轴和$y$轴的直线$l_x,l_y$。记$C_1,C_2,l_x$所围图形的面积为$S_1(x)$；$C_2,C_3,l_y$所围图形的面积为$S_2(y)$。如果总有$S_1(x)=S_2(y)$，求曲线$C_3$的方程$x=\varphi (y)$。