真题库

下列结论中正确的是（　　）。

曲线$y=\frac{{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}}{2}$与直线$x=0$，$x=t$（$t>0$）及$y=0$围成一曲边梯形。该曲边梯形绕$x$轴旋转一周得一旋转体，其体积为$V(t)$，侧面积为$S(t)$，在$x=t$处的底面积为$F(t)$。

设$f(x)$，$g(x)$在$[a,b]$上连续，且满足${\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t\ge {\int }_a^{x}g(t)\mathrm{d}t,x\in [a,b),{\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t={\int }_a^{b}g(t)\mathrm{d}t.$证明：${\int }_a^{b}xf(x)\mathrm{d}x\le {\int }_a^{b}xg(x)\mathrm{d}x$。

设$f(x)$为连续函数，$F(t)={\int }_1^t\mathrm{d}y{\int }_y^{t}f(x)\mathrm{d}x$，则$F^{\prime }(2)$等于（　　）。

设$F(x)=\{\begin{array}{ll}{\mathrm{e}}^{2x},& x\le 0,\\ {\mathrm{e}}^{-2x},& x>0,\end{array}$，$S$表示夹在$x$轴与曲线$y=F(x)$之间的面积。对任何$t>0$，$S_1(t)$表示矩形$-t\le x\le t,0\le y\le F(t)$的面积。求：

设$f(x)=\{\begin{array}{ll}x{\mathrm{e}}^{x^2},& -\frac{1}{2}\le x<\frac{1}{2},\\ -1,& x\ge \frac{1}{2},\end{array}$，则${\int }_{\frac{1}{2}}^{2}f(x-1)\mathrm{d}x=$ 。

${\int }_1^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{x^2-1}}=$ 。

已知$f^{\prime }({\mathrm{e}}^x)=x{\mathrm{e}}^{-x}$，且$f(1)=0$，则$f(x)=$ 。

$\underset{n\to \infty }{\lim }\ln \sqrt[n]{(1+\frac{1}{n}{)}^2(1+\frac{2}{n}{)}^2\cdots (1+\frac{n}{n}{)}^2}$等于（　　）。

设$f(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x>0,\\ 0,& x=0,\\ -1,& x<0,\end{array}$，$F(x)={\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$，则（　　）。

有一平底容器，其内侧壁由曲线$x=\varphi (y)(y\ge 0)$绕$y$轴旋转而成，底面圆半径为$2\mathrm{m}$。以$\frac{3{\mathrm{m}}^3}{\min }$速率注入液体时，液面面积以$\frac{\pi {\mathrm{m}}^2}{\min }$速率均匀扩大。

设函数$f(x)$连续且恒大于零，$F(t)=\frac{{\iiint }_{\Omega (t)}f(x^2+y^2+z^2)\mathrm{d}V}{{\iint }_{D(t)}f(x^2+y^2)\mathrm{d}\sigma }$，$G(t)=\frac{{\iint }_{D(t)}f(x^2+y^2)\mathrm{d}\sigma }{{\int }_{-t}^{t}f(x^2)\mathrm{d}x}$，其中$\Omega (t)=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2+z^2\le t^2\}$，$D(t)=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le t^2\}$

设$I_1={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{\tan x}{x}\mathrm{d}x$，$I_2={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{x}{\tan x}\mathrm{d}x$，则（　　）。

设位于第一象限的曲线$y=f(x)$过点$(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2})$，其上任一点$P(x,y)$处的法线与$y$轴交于$Q$，且线段$PQ$被$x$轴平分。

计算不定积分$\int \frac{x{\mathrm{e}}^{\arctan x}}{(1+x^2{)}^{\frac{3}{2}}}\mathrm{d}x$。

${\int }_{-1}^1(|x|+x){\mathrm{e}}^{-|x|}\mathrm{d}x=$ 。

设曲线的极坐标方程为$\rho ={\mathrm{e}}^{a\theta }(a>0)$，则该曲线上相应于$\theta$从$0$变到$2\pi$的一段弧与极轴所围成图形的面积为 。

过坐标原点作曲线$y=\ln x$的切线，该切线与曲线$y=\ln x$及$x$轴围成平面图形$D$

设某商品从时刻$0$到时刻$t$的销售量为$x(t)=kt$，$t\in [0,T],k>0$。欲在$T$时将数量为$A$的该商品销售完，试求：

某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层。汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功。设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为$k$，$k>0$）。汽锤第一次击打将桩打进地下$a$米。根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数$r(0<r<1)$。问