真题库

设$L$为球面$x^2+y^2+z^2=1$与平面$x+y+z=0$的交线，则${\oint }_{L}xy\mathrm{d}s=$ 。

设$\Sigma$是曲面$x=\sqrt{1-3y^2-3z^2}$的前侧，计算曲面积分${\iint }_{\Sigma }x\mathrm{d}y\mathrm{d}z+(y^3+z)\mathrm{d}z\mathrm{d}x+z^3\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

设薄片型物体$S$是圆锥面$z=\sqrt{x^2+y^2}$被柱面$z^2=2x$割下的有限部分，其上任一点的密度为$\mu =9\sqrt{x^2+y^2+z^2}$，记圆锥面与柱面的交线为$C$。

若曲线积分${\int }_L\frac{x\mathrm{dx}-ay\mathrm{dy}}{x^2+y^2-1}$在区域$D=\{(x,y)\mid x^2+y^2<1\}$内与路径无关，则$a=$ 。

设函数$f(x,y)$满足$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=(2x+1){\mathrm{e}}^{2x-y},f(0,y)=y+1$。$L_t$是从点$(0,0)$到点$(1,t)$的光滑曲线，计算曲线积分$I(t)={\int }_{L_t}\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\mathrm{d}y$，并求$I(t)$的最小值。

向量场$A(x,y,z)=(x+y+z)i+xyj+zk$的旋度$\mathrm{rot}A=$ 。

设有界区域$\Omega$由平面$2x+y+2z=2$与三个坐标平面围成，$\Sigma$为$\Omega$整个表面的外侧，计算曲面积分$I={\iint }_{\Sigma }(x^2+1)\mathrm{d}y\mathrm{d}z-2y\mathrm{d}z\mathrm{d}x+3z\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

已知曲线$L:\{\begin{array}{l}z=\sqrt{2-x^2-y^2},\\ z=x,\end{array}$起点为$A(0,\sqrt{2},0)$，终点为$B(0,-\sqrt{2},0)$，计算曲线积分${\int }_L(y+z)\mathrm{d}x+(z^2-x^2+y)\mathrm{d}y+x^2{y}^2\mathrm{d}z$。

设$\Sigma$为曲面$z=x^2+y^2(z\le 1)$的上侧，计算曲面积分$I={\iint }_{\Sigma }(x-1{)}^3\mathrm{d}y\mathrm{d}z+(y-1{)}^3\mathrm{d}z\mathrm{d}x+(z-1)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

设$L$是柱面$x^2+y^2=1$与平面$y+z=0$的交线，从$z$轴正向往$z$轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分${\oint }_{L}z\mathrm{d}x+y\mathrm{d}z=$ 。

直线$L$过$A(1,0,0),B(0,1,1)$，绕$z$轴旋转得曲面$\Sigma$，与$z=0,z=2$围成立体$\Omega$。

设$L_1:x^2+y^2=1,L_2:x^2+y^2=2,L_3:x^2+2y^2=2,L_4:2x^2+y^2=2$为逆时针曲线，$I_i={\oint }_{L_i}(y+\frac{y^3}{6})\mathrm{d}x+(2x-\frac{x^3}{3})\mathrm{d}y$，则$\max \{I_1,I_2,I_3,I_4\}=$（　　）。

已知$L$是第一象限中从$(0,0)$沿$x^2+y^2=2x$到$(2,0)$，再沿$x^2+y^2=4$到$(0,2)$的曲线段，计算$I={\int }_{L}3x^{2}y\mathrm{d}x+(x^3+x-2y)\mathrm{d}y$。

设$\Sigma =\{(x,y,z)\mid x+y+z=1,x\ge 0,y\ge 0,z\ge 0\}$，则${\iint }_{\Sigma }{y}^2\mathrm{d}S=$ 。

设$L$是柱面方程$x^2+y^2=1$与平面$z=x+y$的交线，从$z$轴正向往$z$轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分${\oint }_{L}xz\mathrm{d}x+x\mathrm{d}y+\frac{y^2}{2}\mathrm{d}z=$ 。

设$P$为椭球面$S:x^2+y^2+z^2-yz=1$上的动点，若$S$在点$P$处的切平面与$xOy$面垂直，求点$P$的轨迹$C$，并计算曲面积分$I={\iint }_{\Sigma }\frac{(x+\sqrt{3})|y-2z|}{\sqrt{4+y^2+z^2-4yz}}\mathrm{d}S$，其中$\Sigma$是椭球面$S$位于曲线$C$上方的部分。

设$\Omega =\{(x,y,z)\mid x^2+y^2\le z\le 1\}$，则$\Omega$的形心的竖坐标$\overline{z}=$ 。

已知曲线$L$的方程为$y=1-|x|(x\in [-1,1])$，起点是$(-1,0)$，终点是$(1,0)$，则曲线积分${\int }_{L}xy\mathrm{d}x+x^2\mathrm{d}y=$ 。

已知曲线$L:y=x^2(0\le x\le \sqrt{2})$，则${\int }_{L}x\mathrm{d}s=$ 。

计算曲面积分$I={\iint }_{\Sigma }\frac{x\mathrm{d}y\mathrm{d}z+y\mathrm{d}z\mathrm{d}x+z\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{(x^2+y^2+z^2{)}^{\frac{3}{2}}}$，其中$\Sigma$是曲面$2x^2+2y^2+z^2=4$的外侧。