真题库

计算曲线积分${\int }_L\sin 2x\mathrm{d}x+2(x^2-1)y\mathrm{d}y$，其中$L$是曲线$y=\sin x$上从点$(0,0)$到点$(\pi ,0)$的一段。

设曲面$\Sigma$是$z=\sqrt{4-x^2-y^2}$的上侧，则${\iint }_{\Sigma }xy\mathrm{d}y\mathrm{d}z+x\mathrm{d}z\mathrm{d}x+x^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y=$ 。

计算曲面积分$I={\iint }_{\Sigma }xz\mathrm{d}y\mathrm{d}z+2zy\mathrm{d}z\mathrm{d}x+3xy\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$\Sigma$为曲面$z=1-x^2-\frac{y^2}{4}(0\le z\le 1)$的上侧。

设曲面$\Sigma :|x|+|y|+|z|=1$，则${\iint }_{\Sigma }(x+|y|)\mathrm{d}S=$ 。

设曲线$L:f(x,y)=1$（$f(x,y)$具有一阶连续偏导数）过第Ⅱ象限内的点$M$和第Ⅳ象限内的点$N$，$\Gamma$为$L$上从点$M$到点$N$的一段弧，则下列积分小于零的是（　　）。

设在上半平面$D=\{(x,y)\mid y>0\}$内，函数$f(x,y)$有连续偏导数，且对任意$t>0$都有$f(tx,ty)=t^{-2}f(x,y)$。证明：对$D$内的任意分段光滑的有向简单闭曲线$L$，都有${\oint }_{L}yf(x,y)\mathrm{d}x-xf(x,y)\mathrm{d}y=0$。

设$\Sigma$是锥面$z=\sqrt{x^2+y^2}(0\le z\le 1)$的下侧，则${\iint }_{\Sigma }x\mathrm{d}y\mathrm{d}z+2y\mathrm{d}z\mathrm{d}x+3(z-1)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=$ 。

设函数$\varphi (y)$具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线$L$上，曲线积分${\oint }_L\frac{\varphi (y)\mathrm{d}x+2xy\mathrm{d}y}{2x^2+y^4}$的值恒为同一常数。

已知函数$z=f(x,y)$的全微分$\mathrm{d}z=2x\mathrm{d}x-2y\mathrm{d}y$，并且$f(1,1)=2$。求$f(x,y)$在椭圆域$D=\{(x,y)\mid x^2+\frac{y^2}{4}\le 1\}$上的最大值和最小值。

设$\Omega$是由锥面$z=\sqrt{x^2+y^2}$与半球面$z=\sqrt{R^2-x^2-y^2}$围成的空间区域，$\Sigma$是$\Omega$的整个边界的外侧，则${\iint }_{\Sigma }x\mathrm{d}y\mathrm{d}z+y\mathrm{d}z\mathrm{d}x+z\mathrm{d}x\mathrm{d}y=$ 。

计算曲面积分$I={\iint }_{\Sigma }2x^3\mathrm{d}y\mathrm{d}z+2y^3\mathrm{d}z\mathrm{d}x+3(z^2-1)\mathrm{d}x\mathrm{d}y,$其中$\Sigma$是曲面$z=1-x^2-y^2(z\ge 0)$的上侧。

设$L$为正向圆周$x^2+y^2=2$在第一象限中的部分，则曲线积分${\int }_{L}x\mathrm{d}y-2y\mathrm{d}x$的值为 。

已知平面区域$D=\{(x,y)\mid 0\le x\le \pi ,0\le y\le \pi \}$，$L$为$D$的正向边界。试证：

设函数$f(x)$在$(-\infty ,+\infty )$内具有一阶连续导数，$L$是上半平面$(y>0)$内起点为$(a,b)$、终点为$(c,d)$的有向分段光滑曲线。记$I={\int }_L\frac{1}{y}[1+y^{2}f(xy)]\mathrm{d}x+\frac{x}{y^2}[y^{2}f(xy)-1]\mathrm{d}y$。

计算$I={\oint }_L(y^2-z^2)\mathrm{d}x+(2z^2-x^2)\mathrm{d}y+(3x^2-y^2)\mathrm{d}z$，其中$L$是平面$x+y+z=2$与柱面$|x|+|y|=1$的交线；从$z$轴正向看去，$L$为逆时针方向。

设$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$，则$\mathrm{div}(\mathrm{grad}r){|}_{(1,-2,2)}=$ 。

设对于半空间$x>0$内任意的光滑有向封闭曲面$S$，都有${\iint }_{S}xf(x)\mathrm{d}y\mathrm{d}z-xyf(x)\mathrm{d}z\mathrm{d}x-{\mathrm{e}}^{2x}z\mathrm{d}x\mathrm{d}y=0$，其中函数$f(x)$在$(0,+\infty )$内具有连续的一阶导数，且$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=1$，求$f(x)$。

计算曲线积分$I={\oint }_L\frac{x\mathrm{d}y-y\mathrm{d}x}{4x^2+y^2}$，其中$L$是以点$(1,0)$为中心、$R$为半径的圆周（$R>1$），取逆时针方向。

设$S:x^2+y^2+z^2=a^2(z\ge 0)$，$S_1$为$S$在第一卦限中的部分，则有（　　）。

设有一半径为$R$的球体，$P_0$是此球表面上的一个定点。球体上任一点的密度与该点到$P_0$距离的平方成正比（比例常数$k>0$），求球体的重心位置。