真题库

求$I={\int }_L({\mathrm{e}}^x\sin y-b(x+y))\mathrm{d}x+({\mathrm{e}}^x\cos y-ax)\mathrm{d}y$，其中$a,b$为正常数，$L$为从点$A(2a,0)$沿曲线$y=\sqrt{2ax-x^2}$到点$O(0,0)$的弧。

设$S$为椭球面$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}+z^2=1$的上半部分，点$P(x,y,z)\in S$，$\pi$为$S$在点$P$处的切平面，$\rho (x,y,z)$为点$O(0,0,0)$到平面$\pi$的距离，求${\iint }_S\frac{z}{\rho (x,y,z)}\mathrm{d}S$。

计算${\iint }_{\Sigma }\frac{ax\mathrm{d}y\mathrm{d}z+(z+a{)}^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{(x^2+y^2+z^2{)}^{\frac{1}{2}}}$，其中$\Sigma$为下半球面$z=-\sqrt{a^2-x^2-y^2}$的上侧，$a$为大于零的常数。

设$L$为椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，其周长记为$a$，则${\oint }_L(2xy+3x^2+4y^2)\mathrm{d}s=$ 。

在右半平面$x>0$上给定向量$A(x,y)=2xy(x^4+y^2{)}^{\lambda }i-x^2(x^4+y^2{)}^{\lambda }j$。完成下列各问：

计算曲线积分${\oint }_C(z-y)\mathrm{d}x+(x-z)\mathrm{d}y+(x-y)\mathrm{d}z$，其中$C$是曲线$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=1\\ x-y+z=2\end{array}$。从$z$轴正向往$z$轴负向看，$C$的方向是顺时针的。

计算曲面积分${\iint }_S[(2x+z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z+z\mathrm{d}x\mathrm{d}y]$，其中$S$为有向曲面$z=x^2+y^2$（$0\le z\le 1$），其法向量与$z$轴正向的夹角为锐角。

已知$\frac{(x+ay)\mathrm{d}x+y\mathrm{d}y}{(x+y{)}^2}$为某函数的全微分，则$a$等于（　　）。

设函数$Q(x,y)$在$xOy$平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分${\int }_{L}2xy\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y$与路径无关，并且对任意$t$恒有${\int }_{(0,0)}^{(t,1)}2xy\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y={\int }_{(0,0)}^{(1,t)}2xy\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y$，求$Q(x,y)$。

计算曲面积分${\iint }_{\Sigma }z\mathrm{d}S$，其中$\Sigma$为锥面$z=\sqrt{x^2+y^2}$在柱体$x^2+y^2\le 2x$内的部分。

计算曲面积分${\iint }_S\frac{x\mathrm{d}y\mathrm{d}z+z^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{x^2+y^2+z^2}$，其中$S$是由圆柱面$x^2+y^2=R^2$及两平面$z=R$、$z=-R$（$R>0$）所围成立体表面的外侧。

计算${\iint }_{\Sigma }2xz\mathrm{d}y\mathrm{d}z+yz\mathrm{d}z\mathrm{d}x-z^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$\Sigma$是由曲面$z=\sqrt{x^2+y^2}$与$z=\sqrt{2-x^2-y^2}$所围立体的表面外侧。

设数量场$u=\ln \sqrt{x^2+y^2+z^2}$，则$\mathrm{div}(\mathrm{grad}u)=$ 。

设曲线积分${\int }_L[f(x)-{\mathrm{e}}^x]\sin y\mathrm{d}x-f(x)\cos y\mathrm{d}y$与路径无关，其中$f(x)$具有一阶连续导数，且$f(0)=0$，则$f(x)$等于（　　）。

在变力$\vec{F}=yz\vec{i}+zx\vec{j}+xy\vec{k}$的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$上第一卦限的点$M(\xi ,\eta ,\zeta )$。

计算曲面积分${\iint }_{\Sigma }(x^3+a{z}^2)\mathrm{d}y\mathrm{d}z+(y^3+a{x}^2)\mathrm{d}z\mathrm{d}x+(z^3+a{y}^2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$\Sigma$为上半球面$z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}$的上侧。

计算$I={\iint }_S-y\mathrm{d}z\mathrm{d}x+(z+1)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$S$是圆柱面$x^2+y^2=4$被平面$x+z=2$和$z=0$所截出部分的外侧。

在过点$O(0,0)$和$A(\pi ,0)$的曲线族$y=a\sin x$（$a>0$）中，求一条曲线$L$，使沿该曲线从$O$到$A$的积分${\int }_L(1+y^3)\mathrm{d}x+(2x+y)\mathrm{d}y$的值最小。

求曲面积分$I={\iint }_{S}yz\mathrm{d}z\mathrm{d}x+2\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$S$是球面$x^2+y^2+z^2=4$外侧在$z\ge 0$的部分。

质点$P$沿着以$AB$为直径的圆周，从点$A(1,2)$运动到点$B(3,4)$的过程中受变力$\vec{F}$作用（见图）。$\vec{F}$的大小等于点$P$与原点$O$之间的距离，其方向垂直于线段$OP$且与$y$轴正向的夹角小于$\frac{\pi }{2}$。求变力$\vec{F}$对质点$P$所作的功。