真题库

设空间区域$\Omega$由曲面$z=a^2-x^2-y^2$与平面$z=0$围成，其中$a$为正常数。设$\Omega$表面的外侧为$S$，$\Omega$的体积为$V$。证明${\iint }_S{x}^{2}y{z}^2\mathrm{d}y\mathrm{d}z-x{y}^2{z}^2\mathrm{d}z\mathrm{d}x+z(1+xyz)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=V$。

设平面曲线$L$为下半圆周$y=-\sqrt{1-x^2}$，则曲线积分${\int }_L(x^2+y^2)\mathrm{d}s=$ 。

向量场$\vec{u}(x,y,z)=x{y}^2\vec{i}+y{\mathrm{e}}^z\vec{j}+x\ln (1+z^2)\vec{k}$在点$P(1,1,0)$处的散度$\mathrm{div}\vec{u}=$ 。

设曲线积分${\int }_{C}x{y}^2\mathrm{d}x+y\phi (x)\mathrm{d}y$与路径无关，其中$\phi (x)$具有连续的导数，且$\phi (0)=0$，计算${\int }_{(0,0)}^{(1,1)}x{y}^2\mathrm{d}x+y\phi (x)\mathrm{d}y$的值。

设半径为$R$的球面$\Sigma$的球心在定球面$x^2+y^2+z^2=a^2(a>0)$上，问当$R$为何值时，球面$\Sigma$在定球面内部的那部分的面积最大？

求八分之一球面$x^2+y^2+z^2=R^2$，$x\ge 0,y\ge 0,z\ge 0$的边界曲线的重心，设曲线的线密度$\rho =1$。

设位于点$(0,1)$的质点$A$对质点$M$的引力大小为$\frac{k}{r^2}$（$k>0$为常数，$r$为质点$A$与$M$之间的距离），质点$M$沿曲线$y=\sqrt{2x-x^2}$自$B(2,0)$运动到$O(0,0)$，求在此运动过程中质点$A$对质点$M$的引力所作的功。

设$S$为曲面$x^2+y^2+z^2=1$的外侧，计算闭曲面积分$I={\iint }_S{x}^3\mathrm{d}y\mathrm{d}z+y^3\mathrm{d}z\mathrm{d}x+z^3\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

计算曲面积分$I={\iint }_{\Sigma }x(8y+1)\mathrm{d}y\mathrm{d}z+2(1-y^2)\mathrm{d}z\mathrm{d}x-4yz\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$\Sigma$是由曲线$\{\begin{array}{l}z=\sqrt{y-1}\\ x=0\end{array}$（$1\le y\le 3$）绕$y$轴旋转一周所形成的曲面，它的法向量与$y$轴正向的夹角恒大于$\frac{\pi }{2}$。

设$L$为取正向的圆周$x^2+y^2=9$，则曲线积分${\oint }_L(2xy-2y)\mathrm{d}x+(x^2-4x)\mathrm{d}y$的值为 。