真题库

微分方程$y^{\prime \prime \prime }-y=0$的通解为$y=$ 。

差分方程$\Delta y_t=t$的通解为$y_t=$ 。

设函数$y=f(x)$满足$y^{\prime \prime }+2y^{\prime }+5y=0$，且$f(0)=1,f^{\prime }(0)=-1$。

设函数$f(x)$满足$f^{\prime \prime }(x)+a{f}^{\prime }(x)+f(x)=0(a>0)$，且$f(0)=m,f^{\prime }(0)=n$，则${\int }_0^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x=$ 。

设$y=y(x)$满足$y^{\prime \prime }+2y^{\prime }+y=0$，且$y(0)=0,y^{\prime }(0)=1$，则${\int }_0^{+\infty }y(x)\mathrm{d}x=$ 。

设函数$f(x)$在$[0,+\infty )$上连续，在$(0,+\infty )$内可导，且对所有$x>0$有$f^{\prime }(x)>0$，曲线$y=f(x)(x\ge 0)$经过坐标原点$O$。$M$为其上横坐标大于零的任意一点，点$M$处的切线与$x$轴交于点$T$，又$MP$垂直$x$轴于点$P$。已知由曲线$y=f(x)$、直线$MP$以及$x$轴所围图形的面积与$△MTP$的面积之比恒为$3:2$，求满足上述条件的曲线方程。

已知微分方程$y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=c{\mathrm{e}}^x$的通解为$y=(C_1+C_{2}x){\mathrm{e}}^{-x}+{\mathrm{e}}^x$，则$a,b,c$依次为（　　）。

设函数$y(x)$是微分方程$y^{\prime }+xy={\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2}}$满足条件$y(0)=0$的特解。

微分方程$2y{y}^{\prime }-y^2-2=0$满足条件$y(0)=1$的特解为$y=$ 。

设函数$y(x)$是微分方程$y^{\prime }-xy=\frac{1}{2\sqrt{x}}{\mathrm{e}}^{\frac{x^2}{2}}$满足条件$y(1)=\sqrt{\mathrm{e}}$的特解。

已知连续函数$f(x)$满足${\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t+{\int }_0^{x}tf(x-t)\mathrm{d}t=a{x}^2$。

已知微分方程$y^{\prime }+y=f(x)$，其中$f(x)$是$\mathbb{R}$上的连续函数。

设函数$f(x)$满足$f(x+\Delta x)-f(x)=2xf(x)\Delta x+o(\Delta x)$，且$f(0)=2$，则$f(1)=$ 。

差分方程${\Delta }^2{y}_x-y_x=5$的解为 。

微分方程$y^{\prime \prime }+2y^{\prime }+3y=0$的通解为$y=$ 。

微分方程$y^{\prime \prime }-4y^{\prime }+8y={\mathrm{e}}^{2x}(1+\cos 2x)$的特解可设为$y^{\ast }=$（　　）。

设$a_0=1$，$a_1=0$，$a_{n+1}=\frac{1}{n+1}(n{a}_n+a_{n-1})(n=1,2,\cdots )$，$S(x)$为幂级数$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$的和函数。

设$y(x)$是区间$(0,\frac{3}{2})$内的可导函数，且$y(1)=0$。点$P$是曲线$L:y=y(x)$上的任意一点。$L$在$P$处的切线与$y$轴相交于点$(0,Y_P)$，法线与$x$轴相交于点$(X_P,0)$。若$X_P=Y_P$，求$L$上点的坐标$(x,y)$满足的方程。

差分方程$y_{t+1}-2y_t=2^t$的通解为$y_t=$ 。

设函数$y(x)$满足方程$y^{\prime \prime }+2y^{\prime }+ky=0$，其中$0<k<1$。