真题库

以$y=x^2-{\mathrm{e}}^x$和$y=x^2$为特解的一阶非齐次线性微分方程为 。

若$y_1=(1+x^2{)}^2-\sqrt{1+x^2},y_2=(1+x^2{)}^2+\sqrt{1+x^2}$是微分方程$y^{\prime }+p(x)y=q(x)$的两个解，则$q(x)=$（　　）。

已知$y_1(x)={\mathrm{e}}^x,y_2(x)=u(x){\mathrm{e}}^x$是二阶微分方程$(2x-1)y^{\prime \prime }-(2x+1)y^{\prime }+2y=0$的解，若$u(-1)=\mathrm{e},u(0)=-1$，求$u(x)$，并写出该微分方程的通解。

设某商品的最大需求量为$1200$件，该商品的需求函数为$Q=Q(p)$，需求弹性$\eta =\frac{p}{120-p}(\eta >0)$，$p$为单价（万元）。

设函数$f(x)$连续，且满足${\int }_0^{x}f(x-t)\mathrm{d}t={\int }_0^x(x-t)f(t)\mathrm{d}t+{\mathrm{e}}^{-x}-1$，求$f(x)$。

设$y=\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{2x}+(x-\frac{1}{3}){\mathrm{e}}^x$是二阶常系数非齐次线性微分方程$y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=c{\mathrm{e}}^x$的一个特解，则（　　）。

设函数$y=y(x)$是微分方程$y^{\prime \prime }+y^{\prime }-2y=0$的解，且在$x=0$处$y(x)$取得极值$3$，则$y(x)=$ 。

设函数$f(x)$在定义域$I$上的导数大于零。若对任意$x_0\in I$，曲线$y=f(x)$在点$(x_0,f(x_0))$处的切线与直线$x=x_0$及$x$轴所围区域的面积恒为4，且$f(0)=2$，求$f(x)$的表达式。

已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比。现将一初始温度为$120{}^{\circ }\mathrm{C}$的物体在$20{}^{\circ }\mathrm{C}$的恒温介质中冷却，$30\min$后该物体降至$30{}^{\circ }\mathrm{C}$。若要将该物体的温度继续降至$21{}^{\circ }\mathrm{C}$，还需冷却多长时间？

设函数$f(u)$具有二阶连续导数，$z=f({\mathrm{e}}^x\cos y)$满足$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}=(4z+{\mathrm{e}}^x\cos y){\mathrm{e}}^{2x}$。若$f(0)=0,f^{\prime }(0)=0$，求$f(u)$的表达式。

已知函数$y=y(x)$满足微分方程$x^2+y^2{y}^{\prime }=1-y^{\prime }$，且$y(2)=0$，求$y(x)$的极大值和极小值。

微分方程$x{y}^{\prime }+y(\ln x-\ln y)=0$满足条件$y(1)={\mathrm{e}}^3$的解为$y=$ 。

设函数$f(u)$具有连续导数，$z=f({\mathrm{e}}^x\cos y)$满足$\cos y\frac{\partial z}{\partial x}-\sin y\frac{\partial z}{\partial y}=(4z+{\mathrm{e}}^x\cos y){\mathrm{e}}^x$。若$f(0)=0$，求$f(u)$的表达式。

已知$y_1={\mathrm{e}}^{3x}-x{\mathrm{e}}^{2x},y_2={\mathrm{e}}^x-x{\mathrm{e}}^{2x},y_3=-x{\mathrm{e}}^{2x}$是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解，该方程满足条件$y{|}_{x=0}=0,y^{\prime }{|}_{x=0}=1$的解为$y=$ 。

已知$y_1={\mathrm{e}}^{3x}-x{\mathrm{e}}^{2x},y_2={\mathrm{e}}^x-x{\mathrm{e}}^{2x},y_3=-x{\mathrm{e}}^{2x}$是某二阶常系数非齐次方程的三个解，则通解$y=$ 。

设$a_0=3,a_1=1,a_{n-2}-n(n-1)a_n=0(n\ge 2)$，$S(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$。

微分方程$y^{\prime \prime }-y^{\prime }+\frac{1}{4}y=0$通解为$y=$ 。

若函数$f(x)$满足$f^{\prime \prime }(x)+f^{\prime }(x)-2f(x)=0$及$f^{\prime \prime }(x)+f(x)=2{\mathrm{e}}^x$，则$f(x)=$ 。

微分方程$y\mathrm{d}x+(x-3y^2)\mathrm{d}y=0$满足$y{|}_{x=1}=1$的解为$y=$ 。

设$f^{\prime \prime }(x)+f^{\prime }(x)-2f(x)=0$及$f^{\prime \prime }(x)+f(x)=2{\mathrm{e}}^x$。