真题库

已知曲线$L:\{\begin{array}{l}x=f(t),\\ y=\cos t\end{array}(0\le t<\frac{\pi }{2})$，其中函数$f(t)$具有连续导数，且$f(0)=0,f^{\prime }(t)>0(0<t<\frac{\pi }{2})$。若曲线切线与$x$轴交点到切点距离恒为$1$，求$f(t)$及以$L$与坐标轴为边界的面积。

设函数$y(x)$具有二阶导数，且曲线$l:y=y(x)$与直线$y=x$相切于原点，记$\alpha$为曲线$l$在点$(x,y)$处切线的倾角，若$\frac{\mathrm{d}\alpha }{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$，求$y(x)$的表达式。

微分方程$y^{\prime \prime }-{\lambda }^{2}y={\mathrm{e}}^{\lambda x}+{\mathrm{e}}^{-\lambda x}(\lambda >0)$的特解形式为（　　）。

微分方程$y^{\prime }+y={\mathrm{e}}^{-x}\cos x$满足条件$y(0)=0$的解为$y=$ 。

设$f(x)$在$[0,1]$有连续导数，$f(0)=1$，且${\iint }_{D_t}{f}^{\prime }(x+y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\iint }_{D_t}f(t)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$D_t=\{(x,y)\mid 0\le y\le t-x,0\le x\le t\}(0<t\le 1)$，求$f(x)$。

3 阶常系数线性齐次微分方程$y^{\prime \prime \prime }-2y^{\prime \prime }+y^{\prime }-2y=0$的通解为$y=$ 。

设$y_1,y_2$是一阶线性非齐次微分方程$y^{\prime }+p(x)y=q(x)$的两个特解，若常数$\lambda ,\mu$使$\lambda y_1+\mu y_2$是该方程的解，$\lambda y_1-\mu y_2$是该方程对应的齐次方程的解，则（　　）。

求微分方程$y^{\prime \prime }-3y^{\prime }+2y=2x{\mathrm{e}}^x$的通解。

设某商品的收益函数为$R(p)$，收益弹性为$1+p^3$，其中$p$为价格，且$R(1)=1$，则$R(p)=$ 。

设函数$y=f(x)$由参数方程$\{\begin{array}{l}x=2t+t^2,\\ y=\psi (t)\end{array}(t>-1)$所确定，其中$\psi (t)$具有$2$阶导数，且$\psi (1)=\frac{5}{2},{\psi }^{\prime }(1)=6$。已知$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=\frac{3}{4(1+t)}$，求函数$\psi (t)$。

设$y=y(x)$是区间$(-\pi ,\pi )$内过点$(-\frac{\pi }{\sqrt{2}},\frac{\pi }{\sqrt{2}})$的光滑曲线。当$-\pi <x<0$时，曲线上任一点处的法线都过原点；当$0\le x<\pi$时，函数$y(x)$满足$y^{\prime \prime }+y+x=0$。求$y(x)$的表达式。

设曲线$y=f(x)$，其中$f(x)$是可导函数，且$f(x)>0$。已知曲线$y=f(x)$与直线$y=0,x=1$及$x=t(t>1)$所围成的曲边梯形绕$x$轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的$\pi t$倍，求该曲线方程。

若二阶常系数线性齐次微分方程$y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=0$的通解为$y=(C_1+C_{2}x){\mathrm{e}}^x$，则非齐次方程$y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=x$满足条件$y(0)=2,y^{\prime }(0)=0$的解为$y=$ 。

设非负函数$y=y(x)(x\ge 0)$满足微分方程$x{y}^{\prime \prime }-y^{\prime }+2=0$。当曲线$y=y(x)$过原点时，其与直线$x=1$及$y=0$围成区域$D$的面积为$2$，求$D$绕$y$轴旋转所得旋转体体积。

设函数$y=y(x)$由参数方程$\{\begin{array}{l}x=x(t),\\ y={\int }_0^{t^2}\ln (1+u)\mathrm{d}u\end{array}$确定，其中$x(t)$是初值问题$\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}-2t{\mathrm{e}}^{-x}=0,\\ x{|}_{t=0}=0\end{array}$的解，求$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}$。

设$f(x)$是区间$[0,+\infty )$上具有连续导数的单调增加函数，且$f(0)=1$。对于任意的$t\in [0,+\infty )$，直线$x=0,x=t$、曲线$y=f(x)$以及$x$轴所围成曲边梯形绕$x$轴旋转一周生成旋转体。若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求$f(x)$的表达式。

在下列微分方程中，以$y=C_1{\mathrm{e}}^x+C_2\cos 2x+C_3\sin 2x$（$C_1,C_2,C_3$为任意常数）为通解的是（　　）。

微分方程$(y+x^2{\mathrm{e}}^{-x})\mathrm{d}x-x\mathrm{d}y=0$的通解是$y=$ 。

微分方程$x{y}^{\prime }+y=0$满足条件$y(1)=1$的解是$y=$ 。

微分方程$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{y}{x}-\frac{1}{2}(\frac{y}{x}{)}^3$满足$y{|}_{x=1}=1$的特解为$y=$ 。