真题库

设函数$f(x)$具有连续的一阶导数，且满足$f(x)={\int }_0^x(x^2-t^2)f^{\prime }(t)\mathrm{d}t+x^2$，求$f(x)$的表达式。

求微分方程$y^{\prime \prime }(x+y^{\prime 2})=y^{\prime }$满足初始条件$y(1)=y^{\prime }(1)=1$的特解。

二阶常系数非齐次线性微分方程$y^{\prime \prime }-4y^{\prime }+3y=2{\mathrm{e}}^{2x}$的通解为$y=$ 。

微分方程$y^{\prime }=\frac{y(1-x)}{x}$的通解是 。

在$xOy$坐标平面上，连续曲线$L$过点$M(1,0)$，其上任意点$P(x,y)(x\ne 0)$处的切线斜率与直线$OP$的斜率之差等于$ax$（常数$a>0$）。

设非齐次线性微分方程$y^{\prime }+P(x)y=Q(x)$有两个不同的解$y_1(x),y_2(x)$，$C$为任意常数，则该方程通解是（　　）。

设函数$f(u)$在$(0,+\infty )$内具有二阶导数，且$z=f(\sqrt{x^2+y^2})$满足等式$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}=0$。

函数$y=c_1{\mathrm{e}}^x+c_2{\mathrm{e}}^{-2x}+x{\mathrm{e}}^x$满足的一个微分方程是（　　）。

微分方程$x{y}^{\prime }+y=0$满足初始条件$y(1)=2$的特解为 。

用变量代换$x=\cos t(0<t<\pi )$化简微分方程$(1-x^2)y^{\prime \prime }-x{y}^{\prime }+y=0$，并求其满足$y{|}_{x=0}=1,y^{\prime }{|}_{x=0}=2$的特解。

微分方程$x{y}^{\prime }+2y=x\ln x$满足$y(1)=-\frac{1}{9}$的解为 。

设级数$\frac{x^4}{2\cdot 4}+\frac{x^6}{2\cdot 4\cdot 6}+\frac{x^8}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}+\cdots (-\infty <x<+\infty )$的和函数为$S(x)$。求：

欧拉方程$x^2\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}+4x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+2y=0(x>0)$的通解为 。

微分方程$y^{\prime \prime }+y=x^2+1+\sin x$的特解形式可设为（　　）。

微分方程$(y+x^3)\mathrm{d}x-2x\mathrm{d}y=0$满足$y{|}_{x=1}=\frac{6}{5}$的特解为 。

设$f(u,v)$具有连续偏导数，且满足$f_u^{\prime }(u,v)+f_v^{\prime }(u,v)=uv$。

某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下。现有一质量为$9000\mathrm{kg}$的飞机，着陆时的水平速度为$700\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$。经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为$k=6.0\times 10^6$）。问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？（注：kg表示千克，km/h表示千米/小时。）

已知$y=\frac{x}{\ln x}$是微分方程$y^{\prime }=\frac{y}{x}+\varphi (\frac{x}{y})$的解，则$\varphi (\frac{x}{y})$为（　　）。

设位于第一象限的曲线$y=f(x)$过点$(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2})$，其上任一点$P(x,y)$处的法线与$y$轴交于$Q$，且线段$PQ$被$x$轴平分。

设$y=f(x)$是第一象限内连接点$A(0,1),B(1,0)$的一段连续曲线，$M(x,y)$为该曲线上任意一点，点$C$为$M$在$x$轴上的投影，$O$为坐标原点。若梯形$OCMA$的面积与曲边三角形$CBM$的面积之和为$\frac{x^3}{6}+\frac{1}{3}$，求$f(x)$的表达式。