真题库

设$F(x)=f(x)g(x)$，其中$f^{\prime }(x)=g(x),g^{\prime }(x)=f(x),f(0)=0$，且$f(x)+g(x)=2{\mathrm{e}}^x$。

设函数$y=y(x)$在$(-\infty ,+\infty )$内具有二阶导数，且$y^{\prime }\ne 0$，$x=x(y)$是$y=y(x)$的反函数。

已知函数$f(x)$在$(0,+\infty )$内可导，$f(x)>0$，$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=1$，且满足$\underset{h\to 0}{\lim }(\frac{f(x+hx)}{f(x)}{)}^{\frac{1}{h}}={\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}}$，求$f(x)$。

设函数$y(x)=1+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^6}{6!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots +\frac{x^{3n}}{(3n)!}+\cdots (-\infty <x<+\infty )$。

微分方程$y{y}^{\prime \prime }+(y^{\prime }{)}^2=0$满足初始条件$y(0)=1$，$y^{\prime }(0)=\frac{1}{2}$的特解是 。

求微分方程$x\mathrm{d}y+(x-2y)\mathrm{d}x=0$的一个解$y=y(x)$，使得由曲线$y=y(x)$与直线$x=1$、$x=2$以及$x$轴所围成的平面图形绕$x$轴旋转一周的旋转体体积最小。

设有一高度为$h(t)$（$t$为时间）的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程$z=h(t)-\frac{2(x^2+y^2)}{h(t)}$（长度单位为厘米，时间单位为小时）。已知体积减少的速率与侧面积成正比，比例系数为$0.9$，问高度为$130$厘米的雪堆全部融化需多少小时？

一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积$S$成正比，比例常数$K>0$。假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为$r_0$的雪堆在开始融化的$3$小时内融化了其体积的$\frac{7}{8}$，问雪堆全部融化需要多少小时？

过点$(\frac{1}{2},0)$且满足关系式$y^{\prime }\arcsin x+\frac{y}{\sqrt{1-x^2}}=1$的曲线方程为 。

设$L$是一条平面曲线，其上任意一点$P(x,y)(x>0)$到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在$y$轴上的截距，且$L$经过点$(\frac{1}{2},0)$。

已知$f_n(x)$满足$f_n^{\prime }(x)=f_n(x)+x^{n-1}{\mathrm{e}}^x(n\text{ 为正整数})$且$f_n(1)=\frac{\mathrm{e}}{n}$，求函数项级数$\sum _{n=1}^{\infty }{f}_n(x)$的和。

设函数$f(x),g(x)$满足$f^{\prime }(x)=g(x),g^{\prime }(x)=2{\mathrm{e}}^x-f(x)$，且$f(0)=0,g(0)=2$，求${\int }_0^{\pi }[\frac{g(x)}{1+x}-\frac{f(x)}{(1+x{)}^2}]\mathrm{d}x$。

设$y={\mathrm{e}}^x(c_1\sin x+c_2\cos x)$（$c_1,c_2$为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为 。

某公司每年的工资总额比上一年增加$20\%$的基础上再追加$2$百万。若以$W_t$表示第$t$年的工资总额（单位：百万元），则$W_t$满足的差分方程是 。

设函数$f(x)$在$(0,+\infty )$内连续，$f(1)=\frac{5}{2}$，且对所有$x,t\in (0,+\infty )$，满足条件${\int }_1^{xt}f(u)\mathrm{d}u=t{\int }_1^{x}f(u)\mathrm{d}u+x{\int }_1^{t}f(u)\mathrm{d}u$。求$f(x)$。

设对于半空间$x>0$内任意的光滑有向封闭曲面$S$，都有${\iint }_{S}xf(x)\mathrm{d}y\mathrm{d}z-xyf(x)\mathrm{d}z\mathrm{d}x-{\mathrm{e}}^{2x}z\mathrm{d}x\mathrm{d}y=0$，其中函数$f(x)$在$(0,+\infty )$内具有连续的一阶导数，且$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=1$，求$f(x)$。

函数$f(x)$在$[0,+\infty )$上可导，$f(0)=1$且满足等式$f^{\prime }(x)+f(x)-\frac{1}{x+1}{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t=0$。

微分方程$x{y}^{\prime \prime }+3y^{\prime }=0$的通解为 。

求微分方程$y^{\prime \prime }-2y^{\prime }-{\mathrm{e}}^{2x}=0$满足条件$y(0)=0,y^{\prime }(0)=1$的解。

具有特解$y_1={\mathrm{e}}^{-x},y_2=2x{\mathrm{e}}^{-x},y_3=3{\mathrm{e}}^x$的$3$阶常系数齐次线性微分方程是（　　）。