真题库

某湖泊的水量为$V$，每年排入湖泊内含污染物$A$的污水量为$\frac{V}{6}$，流入湖泊内不含$A$的水量为$\frac{V}{6}$，流出湖泊的水量为$\frac{V}{3}$。已知$1999$年底湖中$A$的含量为$5m_0$，超过国家规定指标。为了治理污染，从$2000$年初起，限定排入湖泊中含$A$污水的浓度不超过$\frac{m_0}{V}$。问至多需要经过多少年，湖泊中污染物$A$的含量降至$m_0$以内？（注：设湖水中$A$的浓度是均匀的。）

设有微分方程$y^{\prime }-2y=\phi (x)$，其中$\phi (x)=\{\begin{array}{ll}2,& x<1,\\ 0,& x>1.\end{array}$试求在$(-\infty ,+\infty )$内的连续函数$y=y(x)$，使之在$(-\infty ,1)$和$(1,+\infty )$内都满足所给方程，且满足条件$y(0)=0$。

设$F(x)$为$f(x)$的原函数，且当$x\ge 0$时，$f(x)F(x)=\frac{x{\mathrm{e}}^x}{2(1+x{)}^2}$。已知$F(0)=1$，$F(x)>0$，试求$f(x)$。

求初值问题$\{\begin{array}{l}(y+\sqrt{x^2+y^2})\mathrm{d}x-x\mathrm{d}y=0,x>0,\\ y{|}_{x=1}=0\end{array}$的解。

微分方程$y^{\prime \prime }-4y={\mathrm{e}}^{2x}$的通解为$y=$ 。

设函数$y(x)$（$x\ge 0$）二阶可导，且$y^{\prime }(x)>0,y(0)=1$。过曲线$y=y(x)$上任一点$P(x,y)$作该曲线的切线及$x$轴的垂线，上述两直线与$x$轴所围三角形的面积记为$S_1$，区间$[0,x]$上以$y=y(x)$为曲边的曲边梯形面积记为$S_2$。若$2S_1-S_2$恒为$1$，求曲线$y=y(x)$的方程。

设函数$f(x)$在$[1,+\infty )$上连续。由曲线$y=f(x)$、直线$x=1,x=t(t>1)$与$x$轴所围成的平面图形绕$x$轴旋转一周所形成的旋转体体积为$V(t)=\frac{\pi }{3}[t^{2}f(t)-f(1)]$。完成下列各问：

设$y=y(x)$是一向上凸的连续曲线，其上任意一点$(x,y)$处的曲率为$\frac{1}{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}$，且此曲线上点$(0,1)$处的切线方程为$y=x+1$。

给定微分方程$y^{\prime \prime }\cos x-2y^{\prime }\sin x+3y\cos x={\mathrm{e}}^x$，作代换$y=\frac{u}{\cos x}$。

已知函数$y=y(x)$在任意点$x$处的增量$\Delta y=\frac{y\Delta x}{1+x^2}+\alpha$，且当$\Delta x\to 0$时，$\alpha$是$\Delta x$的高阶无穷小，$y(0)=\pi$，则$y(1)$等于（　　）。

从船上向海中沉放某种探测仪器。仪器的下沉深度为$y$（从海平面算起），下沉速度为$v$。设仪器在重力作用下从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用；仪器的质量为$m$，体积为$B$，海水比重为$\rho$，仪器所受阻力与下沉速度成正比，比例系数为$k>0$。完成下列各问：

差分方程$2y_{t+1}+10y_t-5t=0$的通解为 。

在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的。设该人群的总人数为$N$，在$t=0$时刻已掌握新技术的人数为$x_0$，在任意时刻$t$已掌握新技术的人数为$x(t)$（将$x(t)$视为连续可微变量），其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数$k>0$，求$x(t)$。

设函数$f(t)$在$[0,+\infty )$上连续，且满足方程$f(t)={\mathrm{e}}^{4\pi t^2}+{\iint }_{x^2+y^2\le 4t^2}f(\frac{1}{2}\sqrt{x^2+y^2})\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，求$f(t)$。

求微分方程$(3x^2+2xy-y^2)\mathrm{d}x+(x^2-2xy)\mathrm{d}y=0$的通解。

设函数$f(x)$在闭区间$[0,1]$上连续，在开区间$(0,1)$内大于零，并满足$x{f}^{\prime }(x)=f(x)+\frac{3a}{2}{x}^2$（$a$为常数）。又曲线$y=f(x)$与$x=1,y=0$所围成的图形$S$的面积值为$2$。完成下列各问：

设曲线$L$的极坐标方程为$r=r(\theta )$，$M(r,\theta )$为$L$上的任一点，$M_0(2,0)$为$L$上一定点。若极径$O{M}_0,OM$与曲线$L$所围成的曲边扇形面积值等于$L$上$M_0,M$两点间弧长值的一半，求曲线$L$的方程。

设函数$f(u)$具有二阶连续导数，而$z=f({\mathrm{e}}^x\sin y)$满足方程$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}={\mathrm{e}}^{2x}z$，求$f(u)$。

差分方程$y_{t+1}-y_t=t{2}^t$的通解为 。

已知$y_1=x{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{2x}$，$y_2=x{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}$，$y_3=x{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{2x}-{\mathrm{e}}^{-x}$是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程。