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设对任意$x>0$，曲线$y=f(x)$上点$(x,f(x))$处的切线在$y$轴上的截距等于$\frac{1}{x}{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$，求$f(x)$的一般表达式。

求微分方程$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{y-\sqrt{x^2+y^2}}{x}$的通解。

微分方程$y^{\prime \prime }-2y^{\prime }+2y={\mathrm{e}}^x$的通解为 。

设$f(x)$为连续函数，$a$为正常数。

微分方程$y^{\prime \prime }+2y^{\prime }+5y=0$的通解为 。

求微分方程$y^{\prime \prime }+y^{\prime }=x^2$的通解。

设单位质点在水平面内作直线运动，以初始运动方向为正方向，初速度$v(0)=v_0>0$。质点所受水平方向的力只有阻力，阻力方向与速度相反，大小与速率成正比，比例常数为$1$，时间$t\ge 0$。

已知连续函数$f(x)$满足$f(x)={\int }_0^{3x}f(\frac{t}{3})\mathrm{d}t+{\mathrm{e}}^{2x}$，求$f(x)$。

微分方程$y^{\prime \prime }+y=-2x$的通解为 。

设$y={\mathrm{e}}^x$是微分方程$x{y}^{\prime }+p(x)y=x$的一个解，求此微分方程满足条件$y{|}_{x=\ln 2}=0$的特解。

设曲线$L$位于$xOy$平面的第一象限内，$L$上任一点$M$处的切线与$y$轴总相交，交点记为$A$。已知$|\overline{MA}|=|\overline{OA}|$，且$L$过点$(\frac{3}{2},\frac{3}{2})$，求$L$的方程。

设函数$y=y(x)$满足条件$\{\begin{array}{l}{y}^{\prime \prime }+4y^{\prime }+4y=0\\ y(0)=2,y^{\prime }(0)=-4\end{array}$，求广义积分${\int }_0^{+\infty }y(x)\mathrm{d}x$。

求微分方程$y^{\prime \prime }+a^{2}y=\sin x$的通解，其中常数$a>0$。

微分方程$y\mathrm{d}x+(x^2-4x)\mathrm{d}y=0$的通解为 。

设$f(x)$具有二阶连续导数，$f(0)=0$，$f^{\prime }(0)=1$，且$[xy(x+y)-f(x)y]\mathrm{d}x+[f^{\prime }(x)+x^{2}y]\mathrm{d}y=0$为一全微分方程。

求微分方程$(x^2-1)\mathrm{d}y+(2xy-\cos x)\mathrm{d}x=0$满足初始条件$y{|}_{x=0}=1$的特解。

设物体$A$从点$(0,1)$出发，以速度大小为常数$v$沿$y$轴正向运动。物体$B$从点$(-1,0)$与$A$同时出发，其速度大小为$2v$，方向始终指向$A$。

求微分方程$x^2{y}^{\prime }+xy=y^2$满足初始条件$y{|}_{x=1}=1$的特解。

设曲线积分${\int }_L[f(x)-{\mathrm{e}}^x]\sin y\mathrm{d}x-f(x)\cos y\mathrm{d}y$与路径无关，其中$f(x)$具有一阶连续导数，且$f(0)=0$，则$f(x)$等于（　　）。

假设函数$y=f(x)$（$0\le x<+\infty$）满足以下条件：（1）$f(0)=0$且$0\le f(x)\le {\mathrm{e}}^x-1$；（2）平行于$y$轴的动直线$MN$与曲线$y=f(x)$和$y={\mathrm{e}}^x-1$分别相交于点$P_1$和$P_2$；（3）曲线$y=f(x)$、直线$MN$与$x$轴所围封闭图形的面积$S$恒等于线段$P_1{P}_2$的长度。求函数$y=f(x)$的表达式。