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设二阶常系数线性微分方程$y^{\prime \prime }+\alpha y^{\prime }+\beta y=\gamma {\mathrm{e}}^x$的一个特解为$y={\mathrm{e}}^{2x}+(1+x){\mathrm{e}}^x$。

求微分方程$y^{\prime \prime }-3y^{\prime }+2y=x{\mathrm{e}}^x$的通解。

求微分方程$y^{\prime \prime }+2y^{\prime }-3y={\mathrm{e}}^{-3x}$的通解。

求连续函数$f(x)$，使它满足${\int }_0^{1}f(tx)\mathrm{d}t=f(x)+x\sin x$。

微分方程$y^{\prime }+y\tan x=\cos x$的通解为$y=$ 。

求连续函数$f(x)$，使它满足$f(x)+2{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t=x^2$。

求微分方程$(y-x^3)\mathrm{d}x-2x\mathrm{d}y=0$的通解。

在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点$P(x,y)$处的曲率等于此曲线在该点的法线段$PQ$长度的倒数，其中$Q$是法线与$x$轴的交点，且曲线在点$(1,1)$处的切线与$x$轴平行。

求微分方程$x{y}^{\prime }+y=x{\mathrm{e}}^x$满足$y(1)=1$的特解。

若连续函数$f(x)$满足关系式$f(x)={\int }_0^{2x}f(\frac{t}{2})\mathrm{d}t+\ln 2$，则$f(x)$等于（　　）。

求微分方程$xy\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=x^2+y^2$满足条件$y{|}_{x=\mathrm{e}}=2\mathrm{e}$的特解。

求微分方程$y^{\prime \prime }+y=x+\cos x$的通解。

求微分方程$y^{\prime \prime }+4y^{\prime }+4y={\mathrm{e}}^{ax}$的通解，其中$a$为实数。

求微分方程$y^{\prime }+y\cos x=(\ln x){\mathrm{e}}^{-\sin x}$的通解。

求微分方程$y^{\prime \prime }+4y^{\prime }+4y={\mathrm{e}}^{-2x}$的通解（一般解）。

求微分方程$x\ln x\mathrm{d}y+(y-\ln x)\mathrm{d}x=0$满足条件$y{|}_{x=\mathrm{e}}=1$的特解。

求微分方程$x\ln x\mathrm{d}y+(y-\ln x)\mathrm{d}x=0$满足条件$y{|}_{x=\mathrm{e}}=0$的特解。

设$f(x)=\sin x-{\int }_0^x(x-t)f(t)\mathrm{d}t$，其中$f$为连续函数，求$f(x)$。

设线性无关的函数$y_1$，$y_2$，$y_3$都是二阶非齐次线性方程$y^{\prime \prime }+p(x)y^{\prime }+q(x)y=f(x)$的解，$C_1$，$C_2$是任意常数，则该非齐次方程的通解是（　　）。

求微分方程$y^{\prime \prime }+5y^{\prime }+6y=2{\mathrm{e}}^{-x}$的通解。