真题库

设某产品的产量$Q$由资本投入量$x$和劳动投入量$y$决定，生产函数为$Q=12x^{\frac{1}{2}}{y}^{\frac{1}{6}}$，该产品的销售单价$P$与$Q$的关系为$P=1160-1.5Q$，若单位资本投入量和单位劳动投入量的价格分别为$6$和$8$，求利润最大时的产量。

已知可微函数$f(u,v)$满足$f_u-f_v=2(u-v){\mathrm{e}}^{-(u+v)}$，且$f(u,0)=u^2{\mathrm{e}}^{-u}$。

函数$f(x,y)=x^2+2y^2$在点$(0,1)$处的最大方向导数为 。

设$f(u)$可导，$z=xyf(\frac{y}{x})$。若$x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}=y^2(\ln y-\ln x)$，则（　　）。

已知曲线$C:\{\begin{array}{l}{x}^2+2y^2-z=6\\ 4x+2y+z=30\end{array}$，求$C$上的点到$xOy$坐标面距离的最大值。

求函数$f(x,y)=2\ln |x|+\frac{(x-1{)}^2+y^2}{2x^2}$的极值。

设函数$z=z(x,y)$由方程$(x+1)z+y\ln z-\arctan (2xy)=1$确定，则$\frac{\partial z}{\partial x}{|}_{(0,2)}=$ 。

设函数$f(x,y)$可微，且$f(x+1,{\mathrm{e}}^x)=x(x+1{)}^2$，$f(x,x^2)=2x^2\ln x$，则$\mathrm{d}f(1,1)=$（　　）。

求函数$f(x,y)=x^3+8y^3-xy$的极值。

设函数$f(x,y)$在点$(0,0)$处可微，$f(0,0)=0$，$\mathbf{n}=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},-1){|}_{(0,0)}$，非零向量$\mathbf{\alpha }$与$\mathbf{n}$垂直，则（　　）。

关于函数$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}xy,& xy\ne 0\\ x,& y=0\\ y,& x=0\end{array}$，给出下列结论：$\frac{\partial f}{\partial x}{|}_{(0,0)}=1$；$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}{|}_{(0,0)}=1$；$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }f(x,y)=0$；$\underset{y\to 0}{\lim }\underset{x\to 0}{\lim }f(x,y)=0$。其中正确的个数为（　　）。

设函数$f(x,y)={\int }_0^{xy}{\mathrm{e}}^{x{t}^2}\mathrm{d}t$，则$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}{|}_{(1,1)}=$ 。

设$z=\arctan [xy+\sin (x+y)]$，则$\mathrm{d}z{|}_{(0,\pi )}=$ 。

已知$f(u,v)$具有二阶连续偏导数，且$g(x,y)=xy-f(x+y,x-y)$，求$\frac{{\partial }^{2}g}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}g}{\partial x\partial y}+\frac{{\partial }^{2}g}{\partial y^2}$。

设函数$f(u)$可导，$z=f(\sin y-\sin x)+xy$，则$\frac{1}{\cos x}\cdot \frac{\partial z}{\partial x}+\frac{1}{\cos y}\cdot \frac{\partial z}{\partial y}=$ 。

设$a,b$为实数，函数$z=2+a{x}^2+b{y}^2$在点$(3,4)$处的方向导数中，沿方向$l=-3\mathbf{i}-4\mathbf{j}$的方向导数最大，最大值为$10$。

设函数$f(u)$可导，$z=yf(\frac{y^2}{x})$，则$2x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}=$ 。

已知函数$u(x,y)$满足关系式$2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}-2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+3\frac{\partial u}{\partial x}+3\frac{\partial u}{\partial y}=0$。求$a,b$的值，使得在变换$u(x,y)=v(x,y){\mathrm{e}}^{ax+by}$之下，上述等式可化为函数$v(x,y)$的不含一阶偏导数的等式。

将长为$2m$的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形，三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值。

过点$(1,0,0)$、$(0,1,0)$，且与曲面$z=x^2+y^2$相切的平面为（　　）。