真题库

求$f(x,y)=(y+\frac{x^3}{3}){\mathrm{e}}^{x+y}$的极值。

设函数$z=z(x,y)$由方程$(z+y{)}^x=xy$确定，则$\frac{\partial z}{\partial x}{|}_{(1,2)}=$ 。

曲面$x^2+\cos (xy)+yz+x=0$在$(0,1,-1)$处的切平面方程为（　　）。

设$z=\frac{y}{x}f(xy)$，其中函数$f$可微，则$\frac{x}{y}\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=$（　　）。

求曲线$x^3-xy+y^3=1(x\ge 0,y\ge 0)$上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。

设$z=f(\ln x+\frac{1}{y})$，其中函数$f(u)$可微，则$x\frac{\partial z}{\partial x}+y^2\frac{\partial z}{\partial y}=$ 。

某企业生产甲、乙产品的固定成本为$10000$万元，产量为$x,y$件，边际成本分别为$20+\frac{x}{2}$与$6+y$万元每件。

如果$f(x,y)$在$(0,0)$处连续，那么下列命题正确的是（　　）。

$\mathrm{grad}(xy+\frac{z}{y}){|}_{(2,1,1)}=$ 。

求$f(x,y)=x{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2+y^2}{2}}$的极值。

设连续函数$z=f(x,y)$满足$\underset{(x,y)\to (0,1)}{\lim }\frac{f(x,y)-2x+y-2}{\sqrt{x^2+(y-1{)}^2}}=0$，则$\mathrm{d}z{|}_{(0,1)}=$ 。

设$f(x,y)$可微，且对任意$x,y$有$\frac{\partial f}{\partial x}>0,\frac{\partial f}{\partial y}<0$，则使$f(x_1,y_1)<f(x_2,y_2)$成立的充分条件是（　　）。

设$z=(1+\frac{x}{y}{)}^{\frac{x}{y}}$，则$\mathrm{d}z{|}_{(1,1)}=$ 。

设函数$f(x)$具有二阶连续导数，且$f(x)>0$，$f^{\prime }(0)=0$，则函数$z=f(x)\ln f(y)$在点$(0,0)$处取得极小值的一个充分条件是（　　）。

设函数$F(x,y)={\int }_0^{xy}\frac{\sin t}{1+t^2}\mathrm{d}t$，则$\frac{{\partial }^{2}F}{\partial x^2}{|}_{\begin{array}{c}x=0\\ y=2\end{array}}=$ 。

已知$f(u,v)$具有连续的二阶偏导数，$f(1,1)=2$是极值，$z=f[x+y,f(x,y)]$，求$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}{|}_{(1,1)}$。

设函数$z=f(xy,yg(x))$，其中函数$f$具有二阶连续偏导数，函数$g(x)$可导且在$x=1$处取得极值$g(1)=1$，求$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}{|}_{\begin{array}{c}x=1\\ y=1\end{array}}$。

设函数$f(x)$，$g(x)$均有二阶连续导数，满足$f(0)>0$，$g(0)<0$，且$f^{\prime }(0)=g^{\prime }(0)=0$，则函数$z=f(x)g(y)$在点$(0,0)$处取得极小值的一个充分条件是（　　）。

设$P$为椭球面$S:x^2+y^2+z^2-yz=1$上的动点，若$S$在点$P$处的切平面与$xOy$面垂直，求点$P$的轨迹$C$，并计算曲面积分$I={\iint }_{\Sigma }\frac{(x+\sqrt{3})|y-2z|}{\sqrt{4+y^2+z^2-4yz}}\mathrm{d}S$，其中$\Sigma$是椭球面$S$位于曲线$C$上方的部分。

设函数$z=z(x,y)$由方程$F(\frac{y}{x},\frac{z}{x})=0$确定，其中$F$为可微函数，且$F_2^{\prime }\ne 0$，则$x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}=$（　　）。