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设函数$u=f(x,y)$具有二阶连续偏导数，且满足等式$4\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+12\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}+5\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0$。确定$a,b$的值，使等式在变换$\xi =x+ay,\eta =x+by$下化简为$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial \xi \partial \eta }=0$。

求函数$u=xy+2yz$在约束条件$x^2+y^2+z^2=10$下的最大值和最小值。

设函数$f(u,v)$具有二阶连续偏导数，$z=f(x,xy)$，则$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}=$ 。

设$z=f(x+y,x-y,xy)$，其中$f$具有$2$阶连续偏导数。

求二元函数$f(x,y)=x^2(2+y^2)+y\ln y$的极值。

设$z=(x+{\mathrm{e}}^y{)}^x$，则$\frac{\partial z}{\partial x}{|}_{(1,0)}=$ 。

设函数$z=f(x,y)$的全微分为$\mathrm{d}z=x\mathrm{d}x+y\mathrm{d}y$，则点$(0,0)$（　　）。

设$z=z(x,y)$是由方程$x^2+y^2-z=\phi (x+y+z)$所确定的函数，其中$\phi$具有$2$阶导数且${\phi }^{\prime }\ne -1$。

已知曲线$C:\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2-2z^2=0,\\ x+y+3z=5.\end{array}$求曲线$C$距离$xOy$面最远的点和最近的点。

设$f(x,y)={\mathrm{e}}^{\sqrt{x^2+y^4}}$，则（　　）。

函数$f(x,y)=\arctan \frac{x}{y}$在点$(0,1)$处的梯度等于（　　）。

求函数$u=x^2+y^2+z^2$在约束条件$z=x^2+y^2$和$x+y+z=4$下的最大和最小值。

已知$z=(\frac{y}{x}{)}^{\frac{x}{y}}$，则$\frac{\partial z}{\partial x}{|}_{(1,2)}=$ 。

二元函数$f(x,y)$在点$(0,0)$处可微的一个充分条件是（　　）。

设$f(u,v)$为二元可微函数，$z=f(x^y,y^x)$，则$\frac{\partial z}{\partial x}=$ 。

设$f(u,v)$是二元可微函数，$z=f(\frac{y}{x},\frac{x}{y})$，则$x\frac{\partial z}{\partial x}-y\frac{\partial z}{\partial y}=$ 。

求函数$f(x,y)=x^2+2y^2-x^2{y}^2$在区域$D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 4,y\ge 0\}$上的最大值和最小值。

设在上半平面$D=\{(x,y)\mid y>0\}$内，函数$f(x,y)$有连续偏导数，且对任意$t>0$都有$f(tx,ty)=t^{-2}f(x,y)$。证明：对$D$内的任意分段光滑的有向简单闭曲线$L$，都有${\oint }_{L}yf(x,y)\mathrm{d}x-xf(x,y)\mathrm{d}y=0$。

设函数$f(u)$可微，且$f^{\prime }(0)=\frac{1}{2}$，则$z=f(4x^2-y^2)$在点$(1,2)$处的全微分$\mathrm{d}z{|}_{(1,2)}=$ 。

设$f(x,y)$与$\phi (x,y)$均为可微函数，且${\phi }_y^{\prime }(x,y)\ne 0$。已知$(x_0,y_0)$是$f(x,y)$在约束条件$\phi (x,y)=0$下的一个极值点，下列选项正确的是（　　）。