真题库

设函数$f(u)$在$(0,+\infty )$内具有二阶导数，且$z=f(\sqrt{x^2+y^2})$满足等式$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}=0$。

求$f(x,y)=x^2-y^2+2$在椭圆域$D=\{(x,y)\mid x^2+\frac{y^2}{4}\le 1\}$上的最大值和最小值。

设函数$u(x,y)=\varphi (x+y)+\varphi (x-y)+{\int }_{x-y}^{x+y}\psi (t)\mathrm{d}t$，其中函数$\varphi$具有二阶导数，$\psi$具有一阶导数，则必有（　　）。

设二元函数$z=x{\mathrm{e}}^{x+y}+(x+1)\ln (1+y)$，则$\mathrm{d}z{|}_{(1,0)}=$ 。

设有三元方程$xy-z\ln y+{\mathrm{e}}^{xz}=1$，根据隐函数存在定理，存在点$(0,1,1)$的一个邻域，在此邻域内该方程（　　）。

已知函数$z=f(x,y)$的全微分$\mathrm{d}z=2x\mathrm{d}x-2y\mathrm{d}y$，并且$f(1,1)=2$。求$f(x,y)$在椭圆域$D=\{(x,y)\mid x^2+\frac{y^2}{4}\le 1\}$上的最大值和最小值。

设$f(u)$具有二阶连续导数，且$g(x,y)=f(\frac{y}{x})+yf(\frac{x}{y})$，求$x^2\frac{{\partial }^{2}g}{\partial x^2}-y^2\frac{{\partial }^{2}g}{\partial y^2}$。

设函数$u(x,y,z)=1+\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{12}+\frac{z^2}{18}$，单位向量$\vec{n}=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)$，则$\frac{\partial u}{\partial n}{|}_{(1,2,3)}=$ 。

设$z=z(x,y)$是由$x^2-6xy+10y^2-2yz-z^2+18=0$确定的函数，求$z=z(x,y)$的极值点和极值。

函数$f(u,v)$由关系式$f[xg(y),y]=x+g(y)$确定，其中函数$g(y)$可微，且$g(y)\ne 0$，则$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial u\partial v}=$ 。

设$z=f(x^2-y^2,{\mathrm{e}}^{xy})$，其中$f$具有连续二阶偏导数，求$\frac{\partial z}{\partial x}$，$\frac{\partial z}{\partial y}$，$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}$。

设函数$z=z(x,y)$由方程$z={\mathrm{e}}^{2x-3z}+2y$确定，则$3\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=$ 。

设$f(u,v)$具有连续偏导数，且满足$f_u^{\prime }(u,v)+f_v^{\prime }(u,v)=uv$。

已知函数$f(x,y)$在点$(0,0)$的某个邻域内连续，且$\underset{x\to 0,y\to 0}{\lim }\frac{f(x,y)-xy}{(x^2+y^2{)}^2}=1$，则（　　）。

曲面$z=x^2+y^2$与平面$2x+4y-z=0$平行的切平面的方程是 。

设$f(u,v)$具有二阶连续偏导数，且$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial u^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial v^2}=1$，又$g(x,y)=f[xy,\frac{1}{2}(x^2-y^2)]$，求$\frac{{\partial }^{2}g}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}g}{\partial y^2}$。

设可微函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$取得极小值，则正确的是（　　）。

设有一小山，取它的底面所在的平面为$xoy$坐标面，底面区域为$D=\{(x,y)\mid x^2+y^2-xy\le 75\}$，高度函数为$h(x,y)=75-x^2-y^2+xy$。设$M(x_0,y_0)$为区域$D$上一点。

设函数$u=f(x,y,z)$有连续偏导数，且$z=z(x,y)$由方程$x{\mathrm{e}}^x-y{\mathrm{e}}^y=z{\mathrm{e}}^z$所确定，求$\mathrm{d}u$。

考虑二元函数$f(x,y)$的下面四条性质：① $f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处连续；②在该点的两个偏导数连续；③在该点可微；④在该点的两个偏导数存在。若用$P\Rightarrow Q$表示可由性质$P$推出$Q$，则有（　　）。