真题库

设$z={\mathrm{e}}^{-x}-f(x-2y)$，且当$y=0$时，$z=x^2$，则$\frac{\partial z}{\partial x}=$ 。

设函数$z=f(x,y)$在点$(1,1)$处可微，且$f(1,1)=1,\frac{\partial f}{\partial x}{|}_{(1,1)}=2,\frac{\partial f}{\partial y}{|}_{(1,1)}=3$，$\phi (x)=f(x,f(x,x))$。求$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\phi }^3(x){|}_{x=1}$。

设函数$f(x,y)$在点$(0,0)$附近有定义，且$\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=3,\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=1$，则（　　）。

设$u=f(x,y,z)$有连续的一阶偏导数，又函数$y=y(x)$及$z=z(x)$分别由下列两式确定：${\mathrm{e}}^{xy}-xy=2$和${\mathrm{e}}^x={\int }_0^{x-z}\frac{\sin t}{t}\mathrm{d}t$，求$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$。

设$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$，则$\mathrm{div}(\mathrm{grad}r){|}_{(1,-2,2)}=$ 。

已知$z=u^v$，$u=\ln \sqrt{x^2+y^2}$，$v=\arctan \frac{y}{x}$，求$\mathrm{d}z$。

某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是$P_1=18-2Q_1,P_2=12-Q_2$，其中$P_1,P_2$分别表示两个市场的价格（单位：万元/吨），$Q_1,Q_2$分别表示两个市场的销售量（单位：吨）。企业的总成本函数为$C=2Q+5$，其中$Q=Q_1+Q_2$。

曲面$x^2+2y^2+3z^2=21$在点$(1,-2,2)$的法线方程为 。

设$z=f(xy,\frac{x}{y})+g(\frac{y}{x})$，其中$f$具有二阶连续偏导数，$g$具有二阶连续导数，求$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}$。

设$z=f(xy,\frac{x}{y})+g(\frac{y}{x})$，其中$f,g$均可微，则$\frac{\partial z}{\partial x}=$ 。

设生产某种产品必须投入两种要素，$x_1,x_2$分别为两要素的投入量，$Q$为产出量。若生产函数为$Q=2x_1^{\alpha }{x}_2^{\beta }$，其中$\alpha ,\beta$为正常数，且$\alpha +\beta =1$。假设两种要素的价格分别为$p_1,p_2$，当产出量为$12$时，求使投入总费用最小的两要素投入量。

设$y=y(x),z=z(x)$是由方程$z=xf(x+y)$和$F(x,y,z)=0$所确定的函数，其中$f$和$F$分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}$。

设$S$为椭球面$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}+z^2=1$的上半部分，点$P(x,y,z)\in S$，$\pi$为$S$在点$P$处的切平面，$\rho (x,y,z)$为点$O(0,0,0)$到平面$\pi$的距离，求${\iint }_S\frac{z}{\rho (x,y,z)}\mathrm{d}S$。

设$f(x,y,z)={\mathrm{e}}^{x}y{z}^2$，其中$z=z(x,y)$是由$x+y+z+xyz=0$确定的隐函数，则$f_x^{\prime }(0,1,-1)=$ 。

设$z=(x^2+y^2){\mathrm{e}}^{-\arctan \frac{y}{x}}$。完成下列各问：

设$z=\frac{1}{x}f(xy)+y\phi (x+y)$，$f,\phi$具有二阶连续导数，则$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}=$ 。

设$u=f(x,y,z)$有连续偏导数，$y=y(x)$和$z=z(x)$分别由方程${\mathrm{e}}^{xy}-y=0$和${\mathrm{e}}^x-xz=0$所确定，求$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$。

设函数$f(u)$具有二阶连续导数，而$z=f({\mathrm{e}}^x\sin y)$满足方程$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}={\mathrm{e}}^{2x}z$，求$f(u)$。

设直线$L:\{\begin{array}{l}x+y+b=0\\ x+ay-z-3=0\end{array}$在平面$\Pi$上，且平面$\Pi$与曲面$z=x^2+y^2$相切于点$(1,-2,5)$，求$a,b$之值。

二元函数$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{xy}{x^2+y^2},& (x,y)\ne (0,0)\\ 0,& (x,y)=(0,0)\end{array}$在点$(0,0)$处（　　）。