真题库

函数$u=\ln (x+\sqrt{y^2+z^2})$在$A(1,0,1)$点处沿从$A$点指向$B(3,-2,2)$点方向的方向导数为 。

设变换$\{\begin{array}{l}u=x-2y\\ v=x+ay\end{array}$可把方程$6\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}-\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}=0$化简为$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial u\partial v}=0$，求常数$a$，其中$z=z(x,y)$有二阶连续的偏导数。

设$f(x,y)={\int }_0^{xy}{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t$，求$\frac{x}{y}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}-2\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}+\frac{y}{x}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$。

设函数$z=f(u)$，方程$u=\phi (u)+{\int }_y^{x}p(t)\mathrm{d}t$确定$u$是$x,y$的函数，其中$f(u),\phi (u)$可微，$p(t),{\phi }^{\prime }(u)$连续，且${\phi }^{\prime }(u)\ne 1$。求$p(y)\frac{\partial z}{\partial x}+p(x)\frac{\partial z}{\partial y}$。

求曲面$z=\frac{x^2}{2}+y^2$平行于平面$2x+2y-z=0$的切平面方程。

求二元函数$z=f(x,y)=x^{2}y(4-x-y)$在由直线$x+y=6$、$x$轴和$y$轴所围成的闭区域$D$上的：

设$u=f(x,y,z),\phi (x^2,{\mathrm{e}}^y,z)=0,y=\sin x$，其中$f,\phi$都具有一阶连续偏导数，且$\frac{\partial \phi }{\partial z}\ne 0$，求$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$。

设$z=xyf(\frac{y}{x})$，$f(u)$可导，则$x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}=$ 。

设$u={\mathrm{e}}^{-x}\sin \frac{x}{y}$，则$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}$在点$(2,\frac{1}{\pi })$处的值为 。

在椭圆$x^2+4y^2=4$上求一点，使其到直线$2x+3y-6=0$的距离最短。

曲面$z-{\mathrm{e}}^z+2xy=3$在点$(1,2,0)$处的切平面方程为 。

某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养$x$万尾，乙种鱼放养$y$万尾，收获时两种鱼的收获量分别为$(3-\alpha x-\beta y)x$和$(4-\beta x-2\alpha y)y$，其中$\alpha >\beta >0$。求使产鱼总量最大的放养数。

二元函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处两个偏导数$f_x^{\prime }(x_0,y_0)$、$f_y^{\prime }(x_0,y_0)$存在是$f(x,y)$在该点连续的（　　）。

已知$f(x,y)=x^2\arctan \frac{y}{x}-y^2\arctan \frac{x}{y}$，求$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}$。

设数量场$u=\ln \sqrt{x^2+y^2+z^2}$，则$\mathrm{div}(\mathrm{grad}u)=$ 。

设$z=f(x,y)$是由方程$z-y-x+x{\mathrm{e}}^{z-y-x}=0$所确定的二元函数，求$\mathrm{d}z$。

由曲线$\{\begin{array}{l}3x^2+2y^2=12\\ z=0\end{array}$绕$y$轴旋转一周得到的旋转面在点$(0,\sqrt{3},\sqrt{2})$处的指向外侧的单位法向量为 。

设$z=x^{3}f(xy,\frac{y}{x})$，$f$具有连续二阶偏导数。

函数$u=\ln (x^2+y^2+z^2)$在点$M(1,2,-2)$处的梯度$\mathrm{grad}u{|}_M=$ 。

在变力$\vec{F}=yz\vec{i}+zx\vec{j}+xy\vec{k}$的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$上第一卦限的点$M(\xi ,\eta ,\zeta )$。