真题库

设$z=\sin (xy)+\phi (x,\frac{x}{y})$，求$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}$，其中$\phi (u,v)$在其定义域内具有二阶连续偏导数，且$y\ne 0$。

设$z=f({\mathrm{e}}^x\sin y,x^2+y^2)$，其中$f$具有二阶连续偏导数，求$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}$。

在曲线$x=t,y=-t^2,z=t^3$的所有切线中，与平面$x+2y+z=4$平行的切线（　　）。

设$z={\mathrm{e}}^{\sin (xy)}$，则$\mathrm{d}z=$ 。

某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为$p_1,p_2$，销售量分别为$q_1,q_2$，需求函数分别为$q_1=24-0.2p_1$和$q_2=10-0.05p_2$，总成本函数为$C=35+40(q_1+q_2)$。

由方程$xyz+\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{2}$所确定的函数$z=z(x,y)$在点$(1,0,-1)$处的全微分$\mathrm{d}z=$ 。

设$\vec{n}$是曲面$2x^2+3y^2+z^2=6$在点$P(1,1,1)$处指向外侧的法向量。求函数$u=\frac{\sqrt{6x^2+8y^2}}{z}$在点$P$处沿方向$\vec{n}$的方向导数。

已知$xy=xf(z)+yg(z)$，$x{f}^{\prime }(z)+y{g}^{\prime }(z)\ne 0$，其中$z=z(x,y)$是$x$和$y$的函数。求证$[x-g(z)]\frac{\partial z}{\partial x}=[y-f(z)]\frac{\partial z}{\partial y}$。

某公司可通过电台及报纸两种形式为某种商品做销售广告。根据统计资料，销售收入$R$（万元）与电台广告费用$x_1$（万元）及报纸广告费用$x_2$（万元）之间有如下经验公式：$R=15+14x_1+32x_2-8x_1{x}_2-2x_1^2-10x_2^2$。

设$z=f(2x-y,y\sin x)$，其中$f(u,v)$具有连续的二阶偏导数，求$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}$。

设$x^2+z^2=y\varphi (\frac{z}{y})$，其中$\varphi$为可微函数，求$\frac{\partial z}{\partial y}$。

已知$z=a^{\sqrt{x^2-y^2}}$，其中$a>0$，$a\ne 1$，求$\mathrm{d}z$。

已知$z=f(u,v)$，$u=x+y$，$v=xy$，且$f(u,v)$的二阶偏导数都连续。求$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}$。

已知曲面$z=4-x^2-y^2$上点$P$处的切平面平行于平面$2x+2y+z-1=0$，则点$P$的坐标是（　　）。

设$z=f(2x-y)+g(x,xy)$，其中函数$f(t)$二阶可导，$g(u,v)$具有连续的二阶偏导数，求$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}$。

已知$u+{\mathrm{e}}^u=xy$，求$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}$。

已知$u={\mathrm{e}}^{\frac{x}{y}}$，求$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}$。

设$u=yf(\frac{x}{y})+xg(\frac{y}{x})$，其中函数$f,g$具有二阶连续导数，求$x\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+y\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}$。

求椭球面$x^2+2y^2+3z^2=21$上某点$M$处的切平面$\Pi$的方程，使平面$\Pi$过已知直线$l:\frac{x-6}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{2z-1}{-2}$。

$z=\arctan \frac{x+y}{x-y}$，求$\mathrm{d}z$。