真题库

设数列$\{a_n\}$单调减少，$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0$，$S_n=\sum _{k=1}^n{a}_k(n=1,2,\cdots )$无界，则幂级数$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n(x-1{)}^n$的收敛域为（　　）。

求幂级数$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{2n-1}{x}^{2n}$的收敛域及和函数。

设$a_n$为曲线$y=x^n$与$y=x^{n+1}(n=1,2,\dots )$所围成区域的面积。

幂级数$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{\mathrm{e}}^n-(-1{)}^n}{n^2}{x}^n$的收敛半径为 。

设有两个数列$\{a_n\},\{b_n\}$，若$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0$，则（　　）。

已知幂级数$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n(x+2{)}^n$在$x=0$处收敛，在$x=-4$处发散，则幂级数$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n(x-3{)}^n$的收敛域为 。

设$f(x)=1-x^2(0\le x\le \pi )$展开成（以$2\pi$为周期的）余弦级数，并求级数$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n^2}$的和。

将函数$f(x)=\frac{1}{x^2-3x-4}$展开成$x-1$的幂级数，并指出其收敛区间。

设幂级数$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$在$(-\infty ,+\infty )$内收敛，其和函数$y(x)$满足$y^{\prime \prime }-2x{y}^{\prime }-4y=0,y(0)=0,y^{\prime }(0)=1$。

若级数$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$收敛，则级数（　　）。

求幂级数$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}{x}^{2n+1}}{n(2n-1)}$的收敛域及和函数$S(x)$。

将函数$f(x)=\frac{x}{2+x-x^2}$展开成$x$的幂级数。

设$a_n>0(n=1,2,\dots )$，若$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$发散，$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{a}_n$收敛，则下列结论正确的是（　　）。

求幂级数$\sum _{n=1}^{\infty }(\frac{1}{2n+1}-1)x^{2n}$在区间$(-1,1)$内的和函数$S(x)$。

求幂级数$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}(1+\frac{1}{n(2n-1)})x^{2n}$的收敛区间与和函数$f(x)$。

设级数$\frac{x^4}{2\cdot 4}+\frac{x^6}{2\cdot 4\cdot 6}+\frac{x^8}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}+\cdots (-\infty <x<+\infty )$的和函数为$S(x)$。求：

设$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$为正项级数，下列结论中正确的是（　　）。

设有方程$x^n+nx-1=0$，其中$n$为正整数。证明此方程存在惟一正实根$x_n$，并证明当$\alpha >1$时，级数$\sum _{n=1}^{\infty }{x}_n^{\alpha }$收敛。

设有下列命题：①若$\sum _{n=1}^{\infty }(u_{2n-1}+u_{2n})$收敛，则$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛。②若$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛，则$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_{n+1000}$收敛。③若$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_{n+1}}{u_n}>1$，则$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$发散。④若$\sum _{n=1}^{\infty }(u_n+v_n)$收敛，则$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$，$\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n$都收敛。则以下命题中正确的是（　　）。

求幂级数$1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{2n}(|x|<1)$的和函数$f(x)$及其极值。