真题库

给定幂级数$\sum _{n=0}^{\infty }(2n+1)x^n$。

求级数$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(x-3{)}^n}{n^2}$的收敛域。

设函数$f(x)=x^2$，$0\le x<1$，而$S(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\sin n\pi x$，$-\infty <x<+\infty$，其中$b_n=2{\int }_0^{1}f(x)\sin n\pi x\mathrm{d}x$，$n=1,2,3,\cdots$，则$S(-\frac{1}{2})$等于（　　）。

幂级数$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{\sqrt{n+1}}$的收敛域是 。

已知函数$f(x)=\{\begin{array}{ll}x,& 0\le x\le 1\\ 2-x,& 1\le x\le 2\end{array}$，计算下列各项。

将函数$f(x)=\arctan \frac{1+x}{1-x}$展为$x$的幂级数。

已知级数$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n^2$和$\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n^2$都收敛，试证明级数$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{b}_n$绝对收敛。

若$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n(x-1{)}^n$在$x=-1$处收敛，则此级数在$x=2$处（　　）。

求幂级数$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(x-3{)}^n}{n\cdot 3^n}$的收敛域。

讨论级数$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(n+1)!}{n^{n+1}}$的敛散性。

设$f(x)$是周期为$2$的周期函数，它在区间$(-1,1]$上的定义为$f(x)=\{\begin{array}{ll}2,& -1<x\le 0,\\ x^3,& 0<x\le 1,\end{array}$则$f(x)$的傅里叶（Fourier）级数在$x=1$处收敛于 。

求幂级数$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n{2}^n}{x}^{n+1}$的收敛域，并求其和函数。

将函数$f(x)=\frac{1}{x^2-3x+2}$展成$x$的幂级数，并指出其收敛区间。

若级数$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$和$\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n$均发散，则级数$\sum _{n=1}^{\infty }(a_n+b_n)$也必发散（　　）。

设常数$k>0$，则级数$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\frac{k+n}{n^2}$（　　）。