真题库

设函数$f(x),g(x)$满足$f^{\prime }(x)=g(x),g^{\prime }(x)=2{\mathrm{e}}^x-f(x)$，且$f(0)=0,g(0)=2$，求${\int }_0^{\pi }[\frac{g(x)}{1+x}-\frac{f(x)}{(1+x{)}^2}]\mathrm{d}x$。

设$L$是一条平面曲线，其上任意一点$P(x,y)(x>0)$到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在$y$轴上的截距，且$L$经过点$(\frac{1}{2},0)$。

一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积$S$成正比，比例常数$K>0$。假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为$r_0$的雪堆在开始融化的$3$小时内融化了其体积的$\frac{7}{8}$，问雪堆全部融化需要多少小时？

设$f(x)$在区间$[-a,a](a>0)$上具有二阶连续导数，$f(0)=0$。

已知矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$，$B=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)$，且矩阵$X$满足$AXA+BXB=AXB+BXA+E$，其中$E$是$3$阶单位矩阵，求$X$。

设${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$为线性方程组$AX=0$的一个基础解系，${\beta }_1={\alpha }_1+t{\alpha }_2,{\beta }_2={\alpha }_2+t{\alpha }_3,{\beta }_3={\alpha }_3+t{\alpha }_4,{\beta }_4={\alpha }_4+t{\alpha }_1$。试问实数$t$满足什么关系时，${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3,{\beta }_4$也为$AX=0$的一个基础解系？

设生产函数为$Q=A{L}^{\alpha }{K}^{\beta }$，其中$Q$是产出量，$L$是劳动投入量，$K$是资本投入量，而$A,\alpha ,\beta$均为大于零的参数，则当$Q=1$时$K$关于$L$的弹性为 。

设$z={\mathrm{e}}^{-x}-f(x-2y)$，且当$y=0$时，$z=x^2$，则$\frac{\partial z}{\partial x}=$ 。

某公司每年的工资总额比上一年增加$20\%$的基础上再追加$2$百万。若以$W_t$表示第$t$年的工资总额（单位：百万元），则$W_t$满足的差分方程是 。

设行列式$D=\det \left(\begin{array}{cccc}3& 0& 4& 0\\ 2& 2& 2& 2\\ 0& -7& 0& 0\\ 5& 3& -2& 2\end{array}\right)$，则第$4$行各元素余子式之和为 。

设矩阵$A=\left(\begin{array}{cccc}k& 1& 1& 1\\ 1& k& 1& 1\\ 1& 1& k& 1\\ 1& 1& 1& k\end{array}\right)$，且秩$r(A)=3$，则$k=$ 。

设随机变量$X,Y$的数学期望分别为$-2$和$2$，方差分别为$1$和$4$，而相关系数为$-0.5$。则根据切比雪夫不等式$P\{|X+Y|\ge 6\}\le$ 。

设总体$X$服从正态分布$N(0,0.2^2)$，而$X_1,X_2,\dots ,X_{15}$是来自总体$X$的简单随机样本，则随机变量$Y=\frac{X_1^2+\cdots +X_{10}^2}{2(X_{11}^2+\cdots +X_{15}^2)}$服从何种分布，并给出其参数。
分布名称为 。
参数为 。

设函数$f(x)$的导数在$x=a$处连续，又$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{x-a}=-1$，则（　　）。

设函数$g(x)={\int }_0^{x}f(u)\mathrm{d}u$，其中$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}(x^2+1),& 0\le x\le 1,\\ \frac{1}{3}(x-1),& 1<x\le 2.\end{array}$则$g(x)$在区间$(0,2)$内（　　）。

设$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& a_{34}\\ a_{41}& a_{42}& a_{43}& a_{44}\end{array}\right)$，$B=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{14}& a_{13}& a_{12}& a_{11}\\ a_{24}& a_{23}& a_{22}& a_{21}\\ a_{34}& a_{33}& a_{32}& a_{31}\\ a_{44}& a_{43}& a_{42}& a_{41}\end{array}\right)$，$P_1=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 1& 0& 0& 0\end{array}\right)$，$P_2=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$，其中$A$可逆，则$B^{-1}$等于（　　）。

对于任意两事件$A$和$B$，与$A\cup B=B$不等价的是（　　）。

设$A$是$n$阶矩阵，$\alpha$是$n$维列向量。若秩$r\left(\begin{array}{cc}A& \alpha \\ {\alpha }^T& 0\end{array}\right)=r(A)$，则线性方程组（　　）。

设$u=f(x,y,z)$有连续的一阶偏导数，又函数$y=y(x)$及$z=z(x)$分别由下列两式确定：${\mathrm{e}}^{xy}-xy=2$和${\mathrm{e}}^x={\int }_0^{x-z}\frac{\sin t}{t}\mathrm{d}t$，求$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$。

已知$f(x)$在$(-\infty ,+\infty )$内可导，且$\underset{x\to \infty }{\lim }{f}^{\prime }(x)=\mathrm{e}$，$\underset{x\to \infty }{\lim }(\frac{x+c}{x-c}{)}^x=\underset{x\to \infty }{\lim }[f(x)-f(x-1)]$，求$c$的值。