真题库

计算$I={\oint }_L(y^2-z^2)\mathrm{d}x+(2z^2-x^2)\mathrm{d}y+(3x^2-y^2)\mathrm{d}z$，其中$L$是平面$x+y+z=2$与柱面$|x|+|y|=1$的交线；从$z$轴正向看去，$L$为逆时针方向。

设$y=f(x)$在$(-1,1)$内具有二阶连续导数且$f^{\prime \prime }(x)\ne 0$。

设有一高度为$h(t)$（$t$为时间）的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程$z=h(t)-\frac{2(x^2+y^2)}{h(t)}$（长度单位为厘米，时间单位为小时）。已知体积减少的速率与侧面积成正比，比例系数为$0.9$，问高度为$130$厘米的雪堆全部融化需多少小时？

设${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s$为线性方程组$Ax=0$的一个基础解系，${\beta }_1=t_1{\alpha }_1+t_2{\alpha }_2,{\beta }_2=t_1{\alpha }_2+t_2{\alpha }_3,\dots ,{\beta }_s=t_1{\alpha }_s+t_2{\alpha }_1$，其中$t_1,t_2$为实常数。试问$t_1,t_2$满足什么关系时，${\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_s$也为$Ax=0$的一个基础解系？

已知$3$阶矩阵$A$与三维向量$x$，使得向量组$x,Ax,A^{2}x$线性无关，且满足$A^{3}x=3Ax-2A^{2}x$。记$P=(x,Ax,A^{2}x)$。

设某班车起点站上客人数$X$服从参数$\lambda (\lambda >0)$的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为$p(0<p<1)$，且途中下车与否相互独立，以$Y$表示在中途下车的人数。

设总体$X$服从正态分布$N(\mu ,{\sigma }^2)(\sigma >0)$，从该总体中抽取简单随机样本$X_1,X_2,\dots ,X_{2n}(n\ge 2)$，其样本均值为$\overline{X}=\frac{1}{2n}\sum _{i=1}^{2n}{X}_i$。求统计量$Y=\sum _{i=1}^n(X_i+X_{n+i}-2\overline{X}{)}^2$的数学期望$E(Y)$。

$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{3-x}-\sqrt{1+x}}{x^2+x-2}=$ 。

设函数$y=f(x)$由方程${\mathrm{e}}^{2x+y}-\cos (xy)=\mathrm{e}-1$所确定，则曲线$y=f(x)$在点$(0,1)$处的法线方程为 。

${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}(x^3+{\sin }^{2}x){\cos }^{2}x\mathrm{d}x=$ 。

过点$(\frac{1}{2},0)$且满足关系式$y^{\prime }\arcsin x+\frac{y}{\sqrt{1-x^2}}=1$的曲线方程为 。

设方程$\left(\begin{array}{ccc}a& 1& 1\\ 1& a& 1\\ 1& 1& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -2\end{array}\right)$有无穷多个解，则$a=$ 。

设$f(x)=\{\begin{array}{ll}1,& |x|\le 1,\\ 0,& |x|>1\end{array}$，则$f\{f[f(x)]\}$等于（　　）。

设当$x\to 0$时，$(1-\cos x)\ln (1+x^2)$是比$x\sin x^n$高阶的无穷小，$x\sin x^n$是比${\mathrm{e}}^{x^2}-1$高阶的无穷小，则正整数$n$等于（　　）。

曲线$y=(x-1{)}^2(x-3{)}^2$的拐点个数为（　　）。

已知函数$f(x)$在区间$(1-\delta ,1+\delta )$内具有二阶导数，$f^{\prime }(x)$严格单调减少，且$f(1)=f^{\prime }(1)=1$，则（　　）。

求$\int \frac{\mathrm{d}x}{(2x^2+1)\sqrt{x^2+1}}$。

对于极限$\underset{t\to x}{\lim }(\frac{\sin t}{\sin x}{)}^{\frac{x}{\sin t-\sin x}}$，记其值为$f(x)$。

设$\rho =\rho (x)$是抛物线$y=\sqrt{x}$上任一点$M(x,y)(x\ge 1)$处的曲率半径，$s=s(x)$是该抛物线上介于点$A(1,1)$与$M$之间的弧长，计算$3\rho \frac{{\mathrm{d}}^2\rho }{\mathrm{d}{s}^2}-(\frac{\mathrm{d}\rho }{\mathrm{d}s}{)}^2$的值。在直角坐标系下，曲率公式为$K=\frac{|y^{\prime \prime }|}{(1+y^{\prime 2}{)}^{\frac{3}{2}}}$。

设函数$f(x)$在$[0,+\infty )$上可导，$f(0)=0$，且其反函数为$g(x)$。若${\int }_0^{f(x)}g(t)\mathrm{d}t=x^2{\mathrm{e}}^x$，求$f(x)$。