真题库

设四元齐次线性方程组①为$\{\begin{array}{l}2x_1+3x_2-x_3=0,\\ x_1+2x_2+x_3-x_4=0,\end{array}$，且已知另一四元齐次线性方程组②的一个基础解系为${\alpha }_1=(2,-1,a+2,1{)}^T,{\alpha }_2=(-1,2,4,a+8{)}^T$。

设齐次线性方程组$\{\begin{array}{l}a{x}_1+b{x}_2+b{x}_3+\cdots +b{x}_n=0,\\ b{x}_1+a{x}_2+b{x}_3+\cdots +b{x}_n=0,\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ b{x}_1+b{x}_2+b{x}_3+\cdots +a{x}_n=0,\end{array}$其中$a\ne 0,b\ne 0,n\ge 2$。讨论$a,b$为何值时方程组仅有零解、有无穷多组解；在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解。

设$A$为三阶实对称矩阵，且满足条件$A^2+2A=0$，已知$A$的秩$r(A)=2$。

设实对称矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}a& 1& 1\\ 1& a& -1\\ 1& -1& a\end{array}\right)$。

假设随机变量$U$在区间$[-2,2]$上服从均匀分布，随机变量$X=\{\begin{array}{ll}-1,& \text{若}U\le -1,\\ 1,& \text{若}U>-1,\end{array}Y=\{\begin{array}{ll}-1,& \text{若}U\le 1,\\ 1,& \text{若}U>1.\end{array}$

设$A$、$B$是任意二事件，其中$A$的概率不等于$0$和$1$，证明：$P(B\mid A)=P(B\mid \bar{A})$是事件$A$与$B$独立的充分必要条件。

假设一设备开机后无故障工作的时间$X$服从指数分布，平均无故障工作的时间$E(X)$为$5$小时。设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作$2$小时便关机。求该设备每次开机无故障工作的时间$Y$的分布函数$F(y)$。

设$y={\mathrm{e}}^x(c_1\sin x+c_2\cos x)$（$c_1,c_2$为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为 。

设$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$，则$\mathrm{div}(\mathrm{grad}r){|}_{(1,-2,2)}=$ 。

交换二次积分的积分次序：${\int }_{-1}^0\mathrm{d}y{\int }_2^{1-y}f(x,y)\mathrm{d}x=$ 。

设矩阵$A$满足$A^2+A-4E=0$，其中$E$为单位矩阵，则$(A-E{)}^{-1}=$ 。

设随机变量$X$的方差为$2$，则根据切比雪夫不等式有估计$P\{|X-E(X)|\ge 2\}\le$ 。

设函数$f(x)$在定义域内可导，$y=f(x)$的图形如下，则导函数$y=f^{\prime }(x)$的图形为（　　）。

设函数$f(x,y)$在点$(0,0)$附近有定义，且$\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=3,\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=1$，则（　　）。

设$f(0)=0$，则$f(x)$在点$x=0$可导的充要条件为（　　）。

设$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1\end{array}\right)$，$B=\left(\begin{array}{cccc}4& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$，则$A$与$B$（　　）。

将一枚硬币重复掷$n$次，以$X$和$Y$分别表示正面向上和反面向上的次数，则$X$和$Y$的相关系数等于（　　）。

求$\int \frac{\arctan {\mathrm{e}}^x}{{\mathrm{e}}^{2x}}\mathrm{d}x$。

设函数$z=f(x,y)$在点$(1,1)$处可微，且$f(1,1)=1,\frac{\partial f}{\partial x}{|}_{(1,1)}=2,\frac{\partial f}{\partial y}{|}_{(1,1)}=3$，$\phi (x)=f(x,f(x,x))$。求$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\phi }^3(x){|}_{x=1}$。

设$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1+x^2}{x}\arctan x,& x\ne 0,\\ 1,& x=0\end{array}$。