真题库

设矩阵$A=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& 3\end{array}\right)$，$B=A^2-3A+2E$，则$B^{-1}=$ 。

设三阶矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -2\\ 2& 1& 2\\ 3& 0& 4\end{array}\right)$，三维列向量$\alpha =(a,1,1{)}^T$。已知$A\alpha$与$\alpha$线性相关，则$a=$ 。

设随机变量$X$和$Y$的联合概率分布见下表，则$X^2$和$Y^2$的协方差$\mathrm{Cov}(X^2,Y^2)=$ 。

设向量组${\alpha }_1=(a,0,c),{\alpha }_2=(b,c,0),{\alpha }_3=(0,a,b)$线性无关，则$a,b,c$必满足关系式 。

设随机变量$X$和$Y$的联合概率分布见下表，则$X$和$Y$的相关系数$\rho =$ 。

设总体$X$的概率密度为$f(x;\theta )=\{\begin{array}{ll}{\mathrm{e}}^{-(x-\theta )},& \text{若}x\ge \theta ,\\ 0,& \text{若}x<\theta .\end{array}$而$X_1,X_2,\cdots ,X_n$是来自总体$X$的简单随机样本，则未知参数$\theta$的矩估计量为 。

设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上有定义，在开区间$(a,b)$内可导，则（　　）。

设幂级数$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{x}^n$与$\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n{x}^n$的收敛半径分别为$\frac{\sqrt{5}}{3}$与$\frac{1}{3}$。若$b_n\ne 0(n=1,2,\dots )$，且极限$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{|a_n|},\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{|b_n|}$均存在，则幂级数$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{a_n^2}{b_n^2}{x}^n$的收敛半径为（　　）。

设$A,B$为$n$阶矩阵，$A^{\ast },B^{\ast }$分别为$A,B$对应的伴随矩阵，分块矩阵$C=\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right)$，则$C$的伴随矩阵$C^{\ast }=$（　　）。

设$A$是$m\times n$矩阵，$B$是$n\times m$矩阵，则线性方程组$(AB)x=0$（　　）。

设$A$是$n$阶实对称矩阵，$P$是$n$阶可逆矩阵，已知$n$维列向量$\alpha$是$A$的属于特征值$\lambda$的特征向量，则矩阵$(P^{-1}AP{)}^T$属于特征值$\lambda$的特征向量是（　　）。

设随机变量$X$和$Y$都服从标准正态分布，则（　　）。

设随机变量$X_1,X_2,\cdots ,X_n$相互独立，$S_n=X_1+X_2+\cdots +X_n$，则根据列维—林德伯格（Levy-Lindberg）中心极限定理，当$n$充分大时，$S_n$近似服从正态分布，只要$X_1,X_2,\cdots ,X_n$（　　）。

求极限$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_0^x[{\int }_0^{u^2}\arctan (1+t)\mathrm{d}t]\mathrm{d}u}{x(1-\cos x)}$。

设函数$u=f(x,y,z)$有连续偏导数，且$z=z(x,y)$由方程$x{\mathrm{e}}^x-y{\mathrm{e}}^y=z{\mathrm{e}}^z$所确定，求$\mathrm{d}u$。

设实函数$f$在$(0,1)$上定义，且对任意$0<t<\frac{\pi }{2}$，有$f({\sin }^{2}t)=\frac{t}{\sin t}$。求$\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}}f(x)\mathrm{d}x$，其中$0<x<1$。

设闭区域$D:x^2+y^2\le y,x\ge 0$；$f(x,y)$为$D$上的连续函数，且$f(x,y)=\sqrt{1-x^2-y^2}-\frac{\pi }{8}{\iint }_{D}f(u,v)\mathrm{d}u\mathrm{d}v$，求$f(x,y)$。

设$D_1$是由抛物线$y=2x^2$和直线$x=a$、$x=2$及$y=0$所围成的平面区域；$D_2$是由抛物线$y=2x^2$和直线$y=0$、$x=a$所围成的平面区域，其中$0<a<2$。

设某商品需求量$Q$是价格$p$的单调减少函数：$Q=Q(p)$，其需求弹性$\eta =\frac{2p^2}{192-p^2}>0$。

设函数$f(x),g(x)$在$[a,b]$上连续，且$g(x)>0$。利用闭区间上连续函数性质，证明存在一点$\xi \in [a,b]$，使${\int }_a^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x=f(\xi ){\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x$。