真题库

设函数$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1-{\mathrm{e}}^{\tan x}}{\arcsin \frac{x}{2}},& x>0\\ a{\mathrm{e}}^{2x},& x\le 0\end{array}$在$x=0$处连续，则$a=$ 。

位于曲线$y=x{\mathrm{e}}^{-x}(0\le x<+\infty )$下方、$x$轴上方的无界图形的面积是 。

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}[\sqrt{1+\cos \frac{\pi }{n}}+\sqrt{1+\cos \frac{2\pi }{n}}+\cdots +\sqrt{1+\cos \frac{n\pi }{n}}]=$ 。

矩阵$\left(\begin{array}{ccc}0& -2& -2\\ 2& 2& -2\\ -2& -2& 2\end{array}\right)$的非零特征值是 。

设函数$f(u)$可导，$y=f(x^2)$当自变量$x$在$x=-1$处取得增量$\Delta x=-0.1$时，相应的函数增量$\Delta y$的线性主部为$0.1$，则$f^{\prime }(1)=$（　　）。

设函数$f(x)$连续，则下列函数中，必为偶函数的是（　　）。

设$y=y(x)$是二阶常系数微分方程$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy={\mathrm{e}}^{3x}$满足初始条件$y(0)=y^{\prime }(0)=0$的特解，则当$x\to 0$，函数$\frac{\ln (1+x^2)}{y(x)}$的极限（　　）。

设向量组${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$线性无关，向量${\beta }_1$可由${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$线性表示，而向量${\beta }_2$不能由${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$线性表示，则对于任意常数$k$，必有（　　）。

已知曲线的极坐标方程是$r=1-\cos \theta$，求该曲线上对应于$\theta =\frac{\pi }{6}$处的切线与法线的直角坐标方程。

设$f(x)=\{\begin{array}{ll}2x+\frac{3}{2}{x}^2,& -1\le x<0\\ \frac{x{\mathrm{e}}^x}{({\mathrm{e}}^x+1{)}^2},& 0\le x\le 1\end{array}$，求函数$F(x)={\int }_{-1}^{x}f(t)\mathrm{d}t$的表达式。

已知函数$f(x)$在$(0,+\infty )$内可导，$f(x)>0$，$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=1$，且满足$\underset{h\to 0}{\lim }(\frac{f(x+hx)}{f(x)}{)}^{\frac{1}{h}}={\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}}$，求$f(x)$。

求微分方程$x\mathrm{d}y+(x-2y)\mathrm{d}x=0$的一个解$y=y(x)$，使得由曲线$y=y(x)$与直线$x=1$、$x=2$以及$x$轴所围成的平面图形绕$x$轴旋转一周的旋转体体积最小。

某闸门的形状与大小如图所示，其中直线$l$为对称轴，闸门的上部为矩形$ABCD$，下部由二次抛物线与线段$AB$所围成。当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为$5:4$，闸门矩形部分的高$h$应为多少$mathrmm$？

设$0<x_1<3$，$x_{n+1}=\sqrt{x_n(3-x_n)}(n=1,2,\cdots )$，证明数列$\{x_n\}$的极限存在，并求此极限。

设$0<a<b$，证明不等式$\frac{2a}{a^2+b^2}<\frac{\ln b-\ln a}{b-a}<\frac{1}{\sqrt{ab}}$。

设函数$f(x)$在$x=0$的某邻域内具有二阶连续导数，且$f(0)\ne 0$，$f^{\prime }(0)\ne 0$，$f^{\prime \prime }(0)\ne 0$。证明：存在唯一的一组实数${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$，使得当$h\to 0$时，${\lambda }_{1}f(h)+{\lambda }_{2}f(2h)+{\lambda }_{3}f(3h)-f(0)$是比$h^2$高阶的无穷小。

已知$A,B$为$3$阶矩阵，且满足$2A^{-1}B=B-4E$，其中$E$是$3$阶单位矩阵。

设常数$a\ne \frac{1}{2}$，则$\underset{n\to \infty }{\lim }\ln ([\frac{n-2na+1}{n(1-2a)}{]}^n)=$ 。

交换积分次序：${\int }_0^{\frac{1}{4}}\mathrm{d}y{\int }_y^{\sqrt{y}}f(x,y)\mathrm{d}x+{\int }_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}y{\int }_y^{\frac{1}{2}}f(x,y)\mathrm{d}x=$ 。

已知$f(x)$的一个原函数为${\ln }^{2}x$，则$\int x{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x=$ 。