真题库

计算${\int }_{\mathrm{e}}^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{x{\ln }^{2}x}=$ 。

已知函数$y=y(x)$由方程${\mathrm{e}}^y+6xy+x^2-1=0$确定，则$y^{\prime \prime }(0)=$ 。

微分方程$y{y}^{\prime \prime }+(y^{\prime }{)}^2=0$满足初始条件$y(0)=1$，$y^{\prime }(0)=\frac{1}{2}$的特解是 。

已知实二次型$f(x_1,x_2,x_3)=a(x_1^2+x_2^2+x_3^2)+4x_1{x}_2+4x_1{x}_3+4x_2{x}_3$经正交变换$x=Py$可化成标准型$f=6y_1^2$，则$a=$ 。

设随机变量$X$服从正态分布$N(\mu ,{\sigma }^2)$（$\sigma >0$），且二次方程$y^2+4y+X=0$无实根的概率为$\frac{1}{2}$，则$\mu =$ 。

考虑二元函数$f(x,y)$的下面四条性质：① $f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处连续；②在该点的两个偏导数连续；③在该点可微；④在该点的两个偏导数存在。若用$P\Rightarrow Q$表示可由性质$P$推出$Q$，则有（　　）。

设$u_n\ne 0(n=1,2,3,\dots )$，且$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{u_n}=1$，则级数$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n+1}(\frac{1}{u_n}+\frac{1}{u_{n+1}})$（　　）。

设函数$y=f(x)$在$(0,+\infty )$内有界且可导，则（　　）。

设有三张不同平面的方程$a_{i1}x+a_{i2}y+a_{i3}z=b_i(i=1,2,3)$，它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为$2$，则这三张平面可能的位置关系为（　　）。

设$X_1$和$X_2$是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为$f_1(x),f_2(x)$，分布函数分别为$F_1(x),F_2(x)$，则（　　）。

设函数$f(x)$在$x=0$的某邻域内具有一阶连续导数，且$f(0)\ne 0,f^{\prime }(0)\ne 0$。若$af(h)+bf(2h)-f(0)$在$h\to 0$时是比$h$高阶的无穷小，试确定$a,b$的值。

已知两曲线$y=f(x)$与$y={\int }_0^{\arctan x}{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t$在点$(0,0)$处的切线相同，写出此切线方程，并求极限$\underset{n\to \infty }{\lim }nf(\frac{2}{n})$。

计算二重积分${\iint }_D{\mathrm{e}}^{\max \{x^2,y^2\}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,0\le y\le 1\}$。

设函数$f(x)$在$(-\infty ,+\infty )$内具有一阶连续导数，$L$是上半平面$(y>0)$内起点为$(a,b)$、终点为$(c,d)$的有向分段光滑曲线。记$I={\int }_L\frac{1}{y}[1+y^{2}f(xy)]\mathrm{d}x+\frac{x}{y^2}[y^{2}f(xy)-1]\mathrm{d}y$。

设函数$y(x)=1+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^6}{6!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots +\frac{x^{3n}}{(3n)!}+\cdots (-\infty <x<+\infty )$。

设有一小山，取它的底面所在的平面为$xoy$坐标面，底面区域为$D=\{(x,y)\mid x^2+y^2-xy\le 75\}$，高度函数为$h(x,y)=75-x^2-y^2+xy$。设$M(x_0,y_0)$为区域$D$上一点。

已知四阶方阵$A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4)$，${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$均为四维列向量，其中${\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$线性无关，${\alpha }_1=2{\alpha }_2-{\alpha }_3$。如果$\beta ={\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3+{\alpha }_4$，求线性方程组$Ax=\beta$的通解。

设$A,B$为同阶方阵。

设随机变量$X$的概率密度为$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}\cos \frac{x}{2},& 0\le x\le \pi ,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$。对$X$独立地重复观察$4$次，用$Y$表示观察值大于$\frac{\pi }{3}$的次数，求$Y^2$的数学期望。

设总体$X$的概率分布见下表，其中$0<\theta <\frac{1}{2}$为未知参数。给定样本值$3,1,3,0,3,1,2,3$，求$\theta$的估计值。