真题库

对于任意二事件$A$和$B$（　　）。

将一枚硬币独立掷两次，令$A_1$为第一次正面，$A_2$为第二次正面，$A_3$为正反各一次，$A_4$为两次正面，则（　　）。

设随机变量$X$和$Y$都服从正态分布，且它们不相关，则（　　）。

设$f(x)=\frac{1}{\pi x}+\frac{1}{\sin \pi x}-\frac{1}{\pi (1-x)},x\in [\frac{1}{2},1)$，试补充定义$f(1)$使$f(x)$在$[\frac{1}{2},1]$上连续。

设$f(x)=\frac{1}{\sin \pi x}-\frac{1}{\pi x}-\frac{1}{\pi (1-x)}$，$x\in (0,\frac{1}{2}]$。试补充定义$f(0)$，使得$f(x)$在$[0,\frac{1}{2}]$上连续。

设$f(u,v)$具有二阶连续偏导数，且$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial u^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial v^2}=1$，又$g(x,y)=f[xy,\frac{1}{2}(x^2-y^2)]$，求$\frac{{\partial }^{2}g}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}g}{\partial y^2}$。

计算二重积分$I={\iint }_D{\mathrm{e}}^{-(x^2+y^2-\pi )}\sin (x^2+y^2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le \pi \}$。

求幂级数$1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{2n}(|x|<1)$的和函数$f(x)$及其极值。

设$a>1$，$f(t)=a^t-at$在$(-\infty ,+\infty )$内的驻点为$t(a)$。问$a$为何值时，$t(a)$最小？并求出最小值。

设$y=f(x)$是第一象限内连接点$A(0,1),B(1,0)$的一段连续曲线，$M(x,y)$为该曲线上任意一点，点$C$为$M$在$x$轴上的投影，$O$为坐标原点。若梯形$OCMA$的面积与曲边三角形$CBM$的面积之和为$\frac{x^3}{6}+\frac{1}{3}$，求$f(x)$的表达式。

设$F(x)=f(x)g(x)$，其中$f^{\prime }(x)=g(x),g^{\prime }(x)=f(x),f(0)=0$，且$f(x)+g(x)=2{\mathrm{e}}^x$。

设函数$f(x)$在$[0,3]$连续，在$(0,3)$可导，且$f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1$。证明存在$\xi \in (0,3)$，使$f^{\prime }(\xi )=0$。

设某商品从时刻$0$到时刻$t$的销售量为$x(t)=kt$，$t\in [0,T],k>0$。欲在$T$时将数量为$A$的该商品销售完，试求：

已知齐次线性方程组$\{\begin{array}{l}(a_1+b)x_1+a_2{x}_2+\cdots +a_n{x}_n=0,\\ a_1{x}_1+(a_2+b)x_2+\cdots +a_n{x}_n=0,\\ \cdots ,\\ a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots +(a_n+b)x_n=0,\end{array}$，其中$\sum _{i=1}^n{a}_i\ne 0$。讨论$a_1,\cdots ,a_n,b$满足何种关系时：

设有向量组①：${\alpha }_1=(1,0,2{)}^T,{\alpha }_2=(1,1,3{)}^T,{\alpha }_3=(1,-1,a+2{)}^T$和向量组②：${\beta }_1=(1,2,a+3{)}^T,{\beta }_2=(2,1,a+6{)}^T,{\beta }_3=(2,1,a+4{)}^T$。试问：

设矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 1& a\end{array}\right)$可逆，向量$\alpha =\left(\begin{array}{c}1\\ b\\ 1\end{array}\right)$是矩阵$A^{\ast }$的一个特征向量，$\lambda$是$\alpha$对应的特征值，其中$A^{\ast }$是矩阵$A$的伴随矩阵。试求$a,b,\lambda$的值。

设二次型$f(x_1,x_2,x_3)=X^{T}AX=a{x}_1^2+2x_2^2-2x_3^2+2b{x}_1{x}_3(b>0)$的矩阵$A$的特征值之和为$1$，特征值之积为$-12$。

设随机变量$X$的概率密度为$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}},& x\in [1,8],\\ 0,& \text{其他},\end{array}$，$F(x)$是$X$的分布函数。求$Y=F(X)$的分布函数。

设随机变量$X$与$Y$独立，$Y$的概率密度为$f(y)$，$X$的概率分布见下表。求$U=X+Y$的概率密度$g(u)$。

对于任意二事件$A$和$B$，$0<P(A)<1,0<P(B)<1$，$\rho =\frac{P(AB)-P(A)P(B)}{\sqrt{P(A)P(B)P(\bar{A})P(\bar{B})}}$称做事件$A$和$B$的相关系数。