真题库

已知${\beta }_1$、${\beta }_2$是非齐次线性方程组$AX=b$的两个不同的解，${\alpha }_1$、${\alpha }_2$是对应齐次线性方程组$AX=0$的基础解系，$k_1$、$k_2$为任意常数，则方程组$AX=b$的通解（一般解）必是（　　）。

从$0,1,2,\cdots ,9$十个数字中任意选出三个不同数字，试求下列事件的概率：

${\int }_0^{1}x\sqrt{1-x}\mathrm{d}x=$ 。

设$f(x)$是连续函数，且$F(x)={\int }_x^{{\mathrm{e}}^{-x}}f(t)\mathrm{d}t$，则$F^{\prime }(x)$等于（　　）。

一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为$\frac{80}{81}$，则该射手的命中率为 。

设函数$f(x)=x\tan x{\mathrm{e}}^{\sin x}$，则$f(x)$是（　　）。

设函数$f(x)=x^2$，$0\le x<1$，而$S(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\sin n\pi x$，$-\infty <x<+\infty$，其中$b_n=2{\int }_0^{1}f(x)\sin n\pi x\mathrm{d}x$，$n=1,2,3,\cdots$，则$S(-\frac{1}{2})$等于（　　）。

设$A$是$4$阶矩阵，且$A$的行列式$|A|=0$，则$A$中（　　）。

设空间区域$\Omega$由曲面$z=a^2-x^2-y^2$与平面$z=0$围成，其中$a$为正常数。设$\Omega$表面的外侧为$S$，$\Omega$的体积为$V$。证明${\iint }_S{x}^{2}y{z}^2\mathrm{d}y\mathrm{d}z-x{y}^2{z}^2\mathrm{d}z\mathrm{d}x+z(1+xyz)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=V$。

设随机变量$X$的分布函数为$F(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<0\\ A\sin x,& 0\le x\le \frac{\pi }{2}\\ 1,& x>\frac{\pi }{2}\end{array}$。
$A=$ ；
$P\{|X|<\frac{\pi }{6}\}=$ 。

曲线$y=x+{\sin }^{2}x$在点$(\frac{\pi }{2},1+\frac{\pi }{2})$处的切线方程是 。

以$A$表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件$\overline{A}$为（　　）。

假设$\lambda$为$n$阶可逆矩阵$A$的一个特征值。

齐次线性方程组$\{\begin{array}{l}\lambda x_1+x_2+x_3=0\\ x_1+\lambda x_2+x_3=0\\ x_1+x_2+x_3=0\end{array}$只有零解，则$\lambda$应满足的条件是 。

证明方程$\ln x=\frac{x}{\mathrm{e}}-{\int }_0^{\pi }\sqrt{1-\cos 2x}\mathrm{d}x$在区间$(0,+\infty )$内有且仅有两个不同实根。

设$n$元齐次线性方程组$AX=0$的系数矩阵$A$的秩为$r$，则$AX=0$有非零解的充分必要条件是（　　）。

当$x>0$时，曲线$y=x\sin \frac{1}{x}$（　　）。

已知$X=AX+B$，其中$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ -1& 1& 1\\ -1& 0& -1\end{array}\right)$，$B=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& 0\\ 5& -3\end{array}\right)$，求矩阵$X$。

设$f(x)=\sin x-{\int }_0^x(x-t)f(t)\mathrm{d}t$，其中$f$为连续函数，求$f(x)$。

曲线$y=\cos x$（$-\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{\pi }{2}$）与$x$轴所围成的图形，绕$x$轴旋转一周所成的旋转体的体积为（　　）。