真题库

有一圆柱体，底面半径与高随时间变化的速率分别为$2\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}},-3\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}$。当底面半径为$10\mathrm{cm}$、高为$5\mathrm{cm}$时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为（　　）。

设$u_n(x)={\mathrm{e}}^{-nx}+\frac{x^{n+1}}{n(n+1)}(n=1,2,\dots )$。

设矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 2& 0\\ 1& a& b\end{array}\right)$仅有两个不同的特征值，且$A$相似于对角矩阵。

函数$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}-1}{x},& x\ne 0\\ 1,& x=0\end{array}$在$x=0$处（　　）。

已知函数$f(t)={\int }_1^{t^2}\mathrm{d}x{\int }_{\sqrt{x}}^t\sin \frac{x}{y}\mathrm{d}y$，则$f^{\prime }\left(\frac{\pi }{2}\right)=$ 。

已知$A=\left(\begin{array}{ccc}a& 1& -1\\ 1& a& -1\\ -1& -1& a\end{array}\right)$。

设$A=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\alpha }}_4)$为 4 阶正交矩阵，若矩阵$B=\left(\begin{array}{c}{\mathbf{\alpha }}_1^{\mathrm{T}}\\ {\mathbf{\alpha }}_2^{\mathrm{T}}\\ {\mathbf{\alpha }}_3^{\mathrm{T}}\end{array}\right)$，$\mathbf{\beta }=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$，$k$表示任意常数，则线性方程组$B\mathbf{x}=\mathbf{\beta }$的通解为（　　）。

已知${\mathbf{\alpha }}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right),{\mathbf{\alpha }}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right),{\mathbf{\alpha }}_3=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 2\end{array}\right)$，记${\mathbf{\beta }}_1={\mathbf{\alpha }}_1$，${\mathbf{\beta }}_2={\mathbf{\alpha }}_2-k{\mathbf{\beta }}_1$，${\mathbf{\beta }}_3={\mathbf{\alpha }}_3-l_1{\mathbf{\beta }}_1-l_2{\mathbf{\beta }}_2$。若${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,{\mathbf{\beta }}_3$两两正交，则$l_1,l_2$依次为（　　）。

${\int }_{\sqrt{5}}^5\frac{x}{\sqrt{|x^2-9|}}\mathrm{d}x=$ 。

设函数$f(x)=ax-b\ln x(a>0)$有两个零点，则$\frac{b}{a}$的取值范围是（　　）。

在区间$(0,2)$上随机取一点，将该区间分成两段，较短一段的长度为$X$，较长一段的长度为$Y$，令$Z=\frac{Y}{X}$。

欧拉方程$x^2{y}^{\prime \prime }+x{y}^{\prime }-4y=0$满足条件$y(1)=1,y^{\prime }(1)=2$的解为$y=$ 。

已知$\underset{x\to 0}{\lim }[\alpha \arctan \frac{1}{x}+(1+|x|{)}^{\frac{1}{x}}]$存在，求$\alpha$的值。

函数$y=y(x)(x>0)$满足微分方程$x{y}^{\prime }-6y=-6$，且$y(\sqrt{3})=10$。

设函数$z=z(x,y)$由方程$(x+1)z+y\ln z-\arctan (2xy)=1$确定，则$\frac{\partial z}{\partial x}{|}_{(0,2)}=$ 。

${\int }_{-\infty }^{+\infty }|x|3^{-x^2}\mathrm{d}x=$ 。

多项式$f(x)=\left|\begin{array}{cccc}x& x& 1& 2x\\ 1& x& 2& -1\\ 2& 1& x& 1\\ 2& -1& 1& x\end{array}\right|$的$x^3$项的系数为 。

设函数$f(x,y)$可微，且$f(x+1,{\mathrm{e}}^x)=x(x+1{)}^2$，$f(x,x^2)=2x^2\ln x$，则$\mathrm{d}f(1,1)=$（　　）。

设$A=(a_{ij})$为 3 阶矩阵，$A_{ij}$为代数余子式。若$A$的每行元素之和均为 2，且$|A|=3$，则$A_{11}+A_{21}+A_{31}=$ 。

设$A,B$为$n$阶实矩阵，下列等式不成立的是（　　）。