真题库

微分方程$y^{\prime \prime \prime }-y=0$的通解为$y=$ 。

设平面区域$D$由曲线$y=\sqrt{x}\sin \pi x(0\le x\le 1)$与$x$轴围成，则$D$绕$x$轴旋转所成旋转体的体积为 。

差分方程$\Delta y_t=t$的通解为$y_t=$ 。

若$y=\cos {\mathrm{e}}^{-\sqrt{x}}$，则$\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}{|}_{x=1}=$ 。

已知矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 2& -1& 1\\ -1& 2& -5\end{array}\right)$。若存在下三角可逆矩阵$P$和上三角可逆矩阵$Q$，使$PAQ$为对角矩阵，则$P,Q$可以分别取（　　）。

设二次型$f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2{)}^2+(x_2+x_3{)}^2-(x_3-x_1{)}^2$的正惯性指数与负惯性指数依次为（　　）。

求函数$f(x,y)=x^3+8y^3-xy$的极值。

曲线$x+y+{\mathrm{e}}^{2xy}=0$在点$(0,-1)$处的切线方程为 。

设$D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 1,y\ge 0\}$，连续函数$f(x,y)$满足$f(x,y)=y\sqrt{1-x^2}+x{\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，求${\iint }_{D}xf(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

当$x\to 0^{+}$时，下列无穷小量中最高阶的是（　　）。

设函数$f(x,y)$在点$(0,0)$处可微，$f(0,0)=0$，$\mathbf{n}=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},-1){|}_{(0,0)}$，非零向量$\mathbf{\alpha }$与$\mathbf{n}$垂直，则（　　）。

设平面区域$D$由直线$x=1$，$x=2$，$y=x$与$x$轴围成，计算${\iint }_D\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{x}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

设$\Sigma$为曲面$z=\sqrt{x^2+y^2}(1\le x^2+y^2\le 4)$的下侧，$f(x)$是连续函数，计算$I={\iint }_{\Sigma }[xf(xy)+2x-y]\mathrm{d}y\mathrm{d}z+[yf(xy)+2y+x]\mathrm{d}z\mathrm{d}x+[zf(xy)+z]\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

设二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2a{x}_1{x}_2+2a{x}_1{x}_3+2a{x}_2{x}_3$经过可逆线性变换$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=P\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\end{array}\right)$化为二次型$g(y_1,y_2,y_3)=y_1^2+y_2^2+4y_3^2+2y_1{y}_2$。

设$A,B,C$为三个随机事件，且$P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{4}$，$P(A\cap B)=0$，$P(A\cap C)=P(B\cap C)=\frac{1}{12}$，则$A,B,C$中恰有一个事件发生的概率为（　　）。

设$A$为$3$阶矩阵，${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2$为$A$的属于特征值$1$的线性无关特征向量，${\mathbf{\alpha }}_3$为$A$的属于特征值$-1$的特征向量。则满足$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$的可逆矩阵$P$可为（　　）。

已知$a,b$为常数，若$(1+\frac{1}{n}{)}^n-\mathrm{e}$与$\frac{b}{n^a}$在$n\to \infty$时是等价无穷小，求$a,b$。

关于函数$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}xy,& xy\ne 0\\ x,& y=0\\ y,& x=0\end{array}$，给出下列结论：$\frac{\partial f}{\partial x}{|}_{(0,0)}=1$；$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}{|}_{(0,0)}=1$；$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }f(x,y)=0$；$\underset{y\to 0}{\lim }\underset{x\to 0}{\lim }f(x,y)=0$。其中正确的个数为（　　）。

设随机变量$(X,Y)$服从二维正态分布$N(0,0;1,4;-\frac{1}{2})$，则下列随机变量中服从标准正态分布且与$X$相互独立的是（　　）。

已知函数$f(x)=x^2\ln (1-x)$，当$n\ge 3$时，$f^{(n)}(0)=$（　　）。