真题库

设函数$f(x)$在区间$(-1,1)$内有定义，且$\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=0$，则（　　）。

设幂级数$\sum _{n=1}^{\infty }n{a}_n(x-2{)}^n$的收敛区间为$(-2,6)$，则$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n(x+1{)}^{2n}$的收敛区间为（　　）。

设$R$为幂级数$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{x}^n$的收敛半径，$r$是实数，则（　　）。

设奇函数$f(x)$在$(-\infty ,+\infty )$上具有连续导数，则（　　）。

设随机变量$X_1,X_2,X_3$相互独立，其中$X_1$与$X_2$均服从标准正态分布，$X_3$的概率分布为$P\{X_3=0\}=P\{X_3=1\}=\frac{1}{2}$，$Y=X_3{X}_1+(1-X_3)X_2$。

设$X$服从区间$(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$上的均匀分布，$Y=\sin X$，则$\mathrm{Cov}(X,Y)=$ 。

若矩阵$A$经过初等列变换化成$B$，则（　　）。

设函数$f(x)$的定义域为$(0,+\infty )$且满足$2f(x)+x^{2}f(\frac{1}{x})=\frac{x^2+2x}{\sqrt{1+x^2}}$。

设函数$y=f(x)$满足$y^{\prime \prime }+2y^{\prime }+5y=0$，且$f(0)=1,f^{\prime }(0)=-1$。

设函数$f(x)$满足$f^{\prime \prime }(x)+a{f}^{\prime }(x)+f(x)=0(a>0)$，且$f(0)=m,f^{\prime }(0)=n$，则${\int }_0^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x=$ 。

${\int }_0^1\mathrm{d}y{\int }_{\sqrt{y}}^1\sqrt{x^3+1}\mathrm{d}x=$ 。

设函数$f(x,y)={\int }_0^{xy}{\mathrm{e}}^{x{t}^2}\mathrm{d}t$，则$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}{|}_{(1,1)}=$ 。

设$X_1,X_2,\dots ,X_{100}$为来自总体$X$的简单随机样本，其中$P\{X=0\}=P\{X=1\}=\frac{1}{2}$，$\Phi (x)$表示标准正态分布函数，利用中心极限定理可得$P\{\sum _{i=1}^{100}{X}_i\le 55\}$的近似值为（　　）。

设平面区域$D=\{(x,y)\mid \frac{x}{2}\le y\le \frac{1}{1+x^2},0\le x\le 1\}$，则$D$绕$y$轴旋转所成的旋转体的体积为 。

设$y=y(x)$满足$y^{\prime \prime }+2y^{\prime }+y=0$，且$y(0)=0,y^{\prime }(0)=1$，则${\int }_0^{+\infty }y(x)\mathrm{d}x=$ 。

设二维随机变量$(X,Y)$在区域$D=\{(x,y)\mid 0<y<\sqrt{1-x^2}\}$上服从均匀分布，令$Z_1=\{\begin{array}{ll}1,& X-Y>0\\ 0,& X-Y\le 0\end{array}$，$Z_2=\{\begin{array}{ll}1,& X+Y>0\\ 0,& X+Y\le 0\end{array}$。

设$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-a}{x-a}=b$，则$\underset{x\to a}{\lim }\frac{\sin f(x)-\sin a}{x-a}=$（　　）。

$\underset{x\to 0}{\lim }[\frac{1}{{\mathrm{e}}^x-1}-\frac{1}{\ln (1+x)}]=$ 。

已知直线$L_1:\frac{x-a_2}{a_1}=\frac{y-b_2}{b_1}=\frac{z-c_2}{c_1}$与直线$L_2:\frac{x-a_3}{a_2}=\frac{y-b_3}{b_2}=\frac{z-c_3}{c_2}$相交于一点，记向量${\mathbf{\alpha }}_i=\left(\begin{array}{c}{a}_i\\ b_i\\ c_i\end{array}\right)(i=1,2,3)$，则（　　）。

设二次型$f(x_1,x_2)=x_1^2-4x_1{x}_2+4x_2^2$经正交变换$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=Q\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right)$化为二次型$g(y_1,y_2)=a{y}_1^2+4y_1{y}_2+b{y}_2^2$，其中$a\ge b$。