真题库

设函数$Q(x,y)=\frac{x}{y^2}$，如果对于上半平面$(y>0)$内任意有向光滑封闭曲线$C$都有${\oint }_{C}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y=0$，那么函数$P(x,y)$可取为（　　）。

曲线$y=\ln \cos x(0\le x\le \frac{\pi }{6})$的弧长为 。

已知函数$f(x)$在$[0,1]$上具有二阶导数，且$f(0)=0,f(1)=1,{\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x=1$。

设$\{u_n\}$是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是（　　）。

设总体$X$的概率密度为$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{A}{\sigma }{\mathrm{e}}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}},& x\ge \mu \\ 0,& x<\mu \end{array}$，其中$\mu$是已知参数，$\sigma$是未知参数，$A$是常数，$X_1,X_2,\cdots ,X_n$是来自总体$X$的简单随机样本。

设向量组${\alpha }_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right),{\alpha }_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 2\end{array}\right),{\alpha }_3=\left(\begin{array}{c}1\\ a\\ 3\end{array}\right)$为${\mathbb{R}}^3$的一组基，$\beta =\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$在这组基下的坐标为$\left(\begin{array}{c}b\\ c\\ 1\end{array}\right)$。

如图所示，有$3$张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程$a_{i1}x+a_{i2}y+a_{i3}z=d_i(i=1,2,3)$组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为$A,\overline{A}$，则（　　）。

设随机变量$X$的概率密度为$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x}{2},& 0<x<2\\ 0,& \text{其他}\end{array}$，$F(x)$为其分布函数，$E(X)$为其数学期望，则$P\{F(X)>E(X)-1\}=$ 。

已知$f(u,v)$具有二阶连续偏导数，且$g(x,y)=xy-f(x+y,x-y)$，求$\frac{{\partial }^{2}g}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}g}{\partial x\partial y}+\frac{{\partial }^{2}g}{\partial y^2}$。

设平面区域$D=\{(x,y)\mid |x|\le y,(x^2+y^2{)}^3\le y^4\}$，计算二重积分${\iint }_D\frac{x+y}{\sqrt{x^2+y^2}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

已知微分方程$y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=c{\mathrm{e}}^x$的通解为$y=(C_1+C_{2}x){\mathrm{e}}^{-x}+{\mathrm{e}}^x$，则$a,b,c$依次为（　　）。

幂级数$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{x}^n$在$(0,+\infty )$内的和函数$S(x)=$ 。

设$A$是四阶矩阵，$A^{\ast }$为其伴随矩阵，若线性方程组$Ax=0$的基础解系中只有两个向量，则$r(A^{\ast })=$（　　）。

设函数$y(x)$是微分方程$y^{\prime }+xy={\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2}}$满足条件$y(0)=0$的特解。

设$A$是三阶实对称矩阵，$E$是三阶单位矩阵，若$A^2+A=2E$，且$|A|=4$，则二次型$x^{T}Ax$的规范形是（　　）。

$\underset{n\to \infty }{\lim }(\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\cdots +\frac{1}{n\times (n+1)}{)}^n=$ 。

曲线$\{\begin{array}{l}x=t-\sin t\\ y=1-\cos t\end{array}$在$t=\frac{3\pi }{2}$对应点处的切线在$y$轴的截距为 。

设$A,B$为随机事件，则$P(A)=P(B)$的充分必要条件是（　　）。

设函数$f(x)=\{\begin{array}{ll}x|x|,& x\le 0\\ x\ln x,& x>0\end{array}$，则$x=0$是$f(x)$的（　　）。

微分方程$2y{y}^{\prime }-y^2-2=0$满足条件$y(0)=1$的特解为$y=$ 。