真题库

设随机变量$X,Y$相互独立，$X$服从参数为$1$的指数分布，$Y$的概率分布为$P\{Y=-1\}=p$，$P\{Y=1\}=1-p(0<p<1)$，令$Z=XY$。

设总体$X$的概率密度为$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{A}{\sigma }{\mathrm{e}}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}},& x\ge \mu \\ 0,& x<\mu \end{array}$，其中$\mu$是已知参数，$\sigma$是未知参数，$A$是常数，$X_1,X_2,\cdots ,X_n$是来自总体$X$的简单随机样本。

曲线$y=x\sin x+2\cos x(-\frac{\pi }{2}<x<2\pi )$的拐点是（　　）。

下列反常积分发散的是（　　）。

已知微分方程$y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=c{\mathrm{e}}^x$的通解为$y=(C_1+C_{2}x){\mathrm{e}}^{-x}+{\mathrm{e}}^x$，则$a,b,c$依次为（　　）。

已知平面区域$D=\{(x,y)\mid |x|+|y|\le \frac{\pi }{2}\}$，记$I_1={\iint }_D\sqrt{x^2+y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，$I_2={\iint }_D\sin \sqrt{x^2+y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，$I_3={\iint }_D(1-\cos \sqrt{x^2+y^2})\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，则（　　）。

设函数$f(x),g(x)$的二阶导函数在$x=a$处连续，则$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-g(x)}{(x-a{)}^2}=0$是两条曲线$y=f(x),y=g(x)$在$x=a$对应的点处相切及曲率相等的（　　）。

设$A$是四阶矩阵，$A^{\ast }$为其伴随矩阵，若线性方程组$Ax=0$的基础解系中只有两个向量，则$r(A^{\ast })=$（　　）。

$\underset{x\to 0}{\lim }(x+2^x{)}^{\frac{2}{x}}=$ 。

曲线$\{\begin{array}{l}x=t-\sin t\\ y=1-\cos t\end{array}$在$t=\frac{3\pi }{2}$对应点处的切线在$y$轴的截距为 。

设函数$f(u)$可导，$z=yf(\frac{y^2}{x})$，则$2x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}=$ 。

曲线$y=\ln \cos x(0\le x\le \frac{\pi }{6})$的弧长为 。

已知函数$f(x)=x{\int }_1^x\frac{\sin t^2}{t}\mathrm{d}t$，则${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x=$ 。

已知矩阵$A=\left(\begin{array}{cccc}1& -1& 0& 0\\ -2& 1& -1& 1\\ 3& -2& 2& -1\\ 0& 0& 3& 4\end{array}\right)$，$A_{ij}$表示$|A|$中元$(i,j)$的代数余子式，则$A_{11}-A_{12}=$ 。

已知函数$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^{2x},& x>0\\ x{\mathrm{e}}^x+1,& x\le 0\end{array}$

求不定积分$\int \frac{3x+6}{(x-1{)}^2(x^2+x+1)}\mathrm{d}x$。

设函数$y(x)$是微分方程$y^{\prime }-xy=\frac{1}{2\sqrt{x}}{\mathrm{e}}^{\frac{x^2}{2}}$满足条件$y(1)=\sqrt{\mathrm{e}}$的特解。

设平面区域$D=\{(x,y)\mid |x|\le y,(x^2+y^2{)}^3\le y^4\}$，计算二重积分${\iint }_D\frac{x+y}{\sqrt{x^2+y^2}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

设$n$是正整数，记$S_n$为曲线$y={\mathrm{e}}^{-x}\sin x(0\le x\le n\pi )$与$x$轴所围成图形的面积。

已知函数$u(x,y)$满足关系式$2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}-2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+3\frac{\partial u}{\partial x}+3\frac{\partial u}{\partial y}=0$。求$a,b$的值，使得在变换$u(x,y)=v(x,y){\mathrm{e}}^{ax+by}$之下，上述等式可化为函数$v(x,y)$的不含一阶偏导数的等式。