真题库

设在上半平面$D=\{(x,y)\mid y>0\}$内，函数$f(x,y)$有连续偏导数，且对任意$t>0$都有$f(tx,ty)=t^{-2}f(x,y)$。证明：对$D$内的任意分段光滑的有向简单闭曲线$L$，都有${\oint }_{L}yf(x,y)\mathrm{d}x-xf(x,y)\mathrm{d}y=0$。

已知非齐次线性方程组$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3+x_4=-1,\\ 4x_1+3x_2+5x_3-x_4=-1,\\ a{x}_1+x_2+3x_3+b{x}_4=1\end{array}$有$3$个线性无关的解。

设$3$阶实对称矩阵$A$的各行元素之和均为$3$，向量${\alpha }_1=(-1,2,-1{)}^T,alph{a}_2=(0,-1,1{)}^T$是线性方程组$Ax=0$的两个解。

随机变量$X$的概率密度为$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2},& -1<x<0,\\ \frac{1}{4},& 0\le x<2,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$，令$Y=X^2$，$F(x,y)$为二维随机变量$(X,Y)$的分布函数。求：

设总体$X$的概率密度为$f(x,\theta )=\{\begin{array}{ll}\theta ,& 0<x<1,\\ 1-\theta ,& 1\le x<2,\\ 0,& \text{其他},\end{array}$其中$\theta$是未知参数$(0<\theta <1)$，$X_1,X_2,\dots ,X_n$为来自总体$X$的简单随机样本，记$N$为样本值$x_1,x_2,\dots ,x_n$中小于$1$的个数，求$\theta$的最大似然估计。

曲线$y=\frac{x+4\sin x}{5x-2\cos x}$的水平渐近线方程为 。

设函数$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x^3}{\int }_0^x\sin t^2\mathrm{d}t,& x\ne 0,\\ a,& x=0.\end{array}$在$x=0$处连续，则$a=$ 。

广义积分${\int }_0^{+\infty }\frac{x\mathrm{d}x}{(1+x^2{)}^2}=$ 。

设函数$y=y(x)$由方程$y=1-x{\mathrm{e}}^y$确定，则$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}{|}_{x=0}=$ 。

设$f(x)$是奇函数，除$x=0$外处处连续，$x=0$是其第一类间断点，则${\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$是（　　）。

设函数$g(x)$可微，$h(x)={\mathrm{e}}^{1+g(x)}$，$h^{\prime }(1)=1$，$g^{\prime }(1)=2$，则$g(1)$等于（　　）。

函数$y=c_1{\mathrm{e}}^x+c_2{\mathrm{e}}^{-2x}+x{\mathrm{e}}^x$满足的一个微分方程是（　　）。

试确定常数$A,B,C$的值，使得${\mathrm{e}}^x(1+Bx+C{x}^2)=1+Ax+o(x^3)$，其中$o(x^3)$是当$x\to 0$时比$x^3$高阶的无穷小。

求$\int \frac{\arcsin {\mathrm{e}}^x}{{\mathrm{e}}^x}\mathrm{d}x$。

证明：当$0<a<b<\pi$时，$b\sin b+2\cos b+\pi b>a\sin a+2\cos a+\pi a$。

已知曲线$L$的方程$\{\begin{array}{l}x=t^2+1,\\ y=4t-t^2,\end{array}quadt\ge 0$。

$\underset{n\to \infty }{\lim }(\frac{n+1}{n}{)}^{(-1{)}^n}=$ 。

设函数$f(x)$在$x=2$的某邻域内可导，且$f^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^{f(x)},f(2)=1$，则$f^{\prime \prime \prime }(2)=$ 。

设函数$f(u)$可微，且$f^{\prime }(0)=\frac{1}{2}$，则$z=f(4x^2-y^2)$在点$(1,2)$处的全微分$\mathrm{d}z{|}_{(1,2)}=$ 。

已知$a_1,a_2$为$2$维列向量，矩阵$A=(2a_1+a_2,a_1-a_2)$，$B=(a_1,a_2)$。若行列式$|A|=6$，则$|B|=$ 。