真题库

设矩阵$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 2\end{array}\right)$，$E$为$2$阶单位矩阵，矩阵$B$满足$BA=B+2E$，则$B$ 。

设总体$X$的概率密度为$f(x)=\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-|x|}(-\infty <x<+\infty )$，$x_1,x_2,\dots ,x_n$为总体$X$的简单随机样本，其样本方差为$S^2$，则$E{S}^2=$ 。

设函数$f(x)$在$x=0$处连续，且$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(h^2)}{h^2}=1$，则（　　）。

设函数$f(x)$与$g(x)$在$[0,1]$上连续，且$f(x)\le g(x)$，且对任何$c\in (0,1)$，则（　　）。

设非齐次线性微分方程$y^{\prime }+P(x)y=Q(x)$有两个不同的解$y_1(x),y_2(x)$，$C$为任意常数，则该方程通解是（　　）。

设$f(x,y)=\frac{y}{1+xy}-\frac{1-y\sin (\pi \frac{x}{y})}{\arctan x}$，$x>0,y>0$，求：

计算二重积分${\iint }_D\sqrt{y^2-xy}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$D$是由直线$y=x,y=1,x=0$所围成的平面区域。

在$xOy$坐标平面上，连续曲线$L$过点$M(1,0)$，其上任意点$P(x,y)(x\ne 0)$处的切线斜率与直线$OP$的斜率之差等于$ax$（常数$a>0$）。

求幂级数$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}{x}^{2n+1}}{n(2n-1)}$的收敛域及和函数$S(x)$。

设$4$维向量组${\alpha }_1=(1+a,1,1,1{)}^T,{\alpha }_2=(2,2+a,2,2{)}^T,{\alpha }_3=(3,3,3+a,3{)}^T,{\alpha }_4=(4,4,4,4+a{)}^T$。

设$3$阶实对称矩阵$A$的各行元素之和均为$3$，向量${\alpha }_1=(-1,2,-1{)}^T,{\alpha }_2=(0,-1,1{)}^T$是线性方程组$Ax=0$的两个解。

设二维随机变量$(X,Y)$的概率分布见下表，其中$a,b,c$为常数，且$EX=-0.2$，$P\{Y\le 0\mid X\le 0\}=0.5$。记$Z=X+Y$，求：

随机变量$X$的概率密度为$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2},& -1<x<0,\\ \frac{1}{4},& 0\le x<2,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$，令$Y=X^2$，$F(x,y)$为二维随机变量$(X,Y)$的分布函数。求：

设总体$X$的概率密度为$f(x,\theta )=\{\begin{array}{ll}\theta ,& 0<x<1,\\ 1-\theta ,& 1\le x<2,\\ 0,& \text{其他},\end{array}$其中$\theta$是未知参数$(0<\theta <1)$，$X_1,X_2,\dots ,X_n$为来自总体$X$的简单随机样本，记$N$为样本值$x_1,x_2,\dots ,x_n$中小于$1$的个数，求：

曲线$y=\frac{x^2}{2x+1}$的斜渐近线方程为 。

微分方程$x{y}^{\prime }+2y=x\ln x$满足$y(1)=-\frac{1}{9}$的解为 。

设函数$u(x,y,z)=1+\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{12}+\frac{z^2}{18}$，单位向量$\vec{n}=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)$，则$\frac{\partial u}{\partial n}{|}_{(1,2,3)}=$ 。

设$\Omega$是由锥面$z=\sqrt{x^2+y^2}$与半球面$z=\sqrt{R^2-x^2-y^2}$围成的空间区域，$\Sigma$是$\Omega$的整个边界的外侧，则${\iint }_{\Sigma }x\mathrm{d}y\mathrm{d}z+y\mathrm{d}z\mathrm{d}x+z\mathrm{d}x\mathrm{d}y=$ 。

设${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$均为3维列向量，记矩阵$A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$，$B=({\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3,{\alpha }_1+2{\alpha }_2+4{\alpha }_3,{\alpha }_1+3{\alpha }_2+9{\alpha }_3)$。如果$|A|=1$，那么$|B|=$ 。

从数$1,2,3,4$中任取一个数，记为$X$，再从$1,2,\dots ,X$中任取一个数，记为$Y$，则$P\{Y=2\}=$ 。