真题库

设函数$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{1+|x{|}^{3n}}$，则$f(x)$在$(-\infty ,+\infty )$内（　　）。

设$F(x)$是连续函数$f(x)$的一个原函数，表示“$M$的充分必要条件是$N$”，则必有（　　）。

设函数$u(x,y)=\varphi (x+y)+\varphi (x-y)+{\int }_{x-y}^{x+y}\psi (t)\mathrm{d}t$，其中函数$\varphi$具有二阶导数，$\psi$具有一阶导数，则必有（　　）。

设有三元方程$xy-z\ln y+{\mathrm{e}}^{xz}=1$，根据隐函数存在定理，存在点$(0,1,1)$的一个邻域，在此邻域内该方程（　　）。

设${\lambda }_1,{\lambda }_2$是矩阵$A$的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为${\alpha }_1,{\alpha }_2$，则${\alpha }_1,A({\alpha }_1+{\alpha }_2)$线性无关的充分必要条件是（　　）。

设$A$为$n(n\ge 2)$阶可逆矩阵，交换$A$的第$1$行与第$2$行得矩阵$B$，$A^{\ast },B^{\ast }$分别为$A,B$的伴随矩阵，则（　　）。

设二维随机变量$(X,Y)$的概率分布见下表。已知随机事件$\{X=0\}$与$\{X+Y=1\}$相互独立，则（　　）。

设$X_1,X_2,\dots ,X_n(n\ge 2)$为来自总体$N(0,1)$的简单随机样本，$\overline{X}$为样本均值，$S^2$为样本方差，则（　　）。

设$D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le \sqrt{2},x\ge 0,y\ge 0\}$，$\lfloor 1+x^2+y^2\rfloor$表示不超过$1+x^2+y^2$的最大整数。计算二重积分${\iint }_{D}xy\lfloor 1+x^2+y^2\rfloor ,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

求幂级数$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}(1+\frac{1}{n(2n-1)})x^{2n}$的收敛区间与和函数$f(x)$。

如图，曲线$C$的方程为$y=f(x)$，点$(3,2)$是它的一个拐点，直线$l_1,l_2$分别是曲线$C$在点$(0,0)$与$(3,2)$处的切线，其交点为$(2,4)$。设函数$f(x)$具有三阶连续导数，计算定积分${\int }_0^3(x^2+x)f^{\prime \prime \prime }(x),\mathrm{d}x$。

已知函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且$f(0)=0,f(1)=1$。证明：

设函数$\varphi (y)$具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线$L$上，曲线积分${\oint }_L\frac{\varphi (y)\mathrm{d}x+2xy\mathrm{d}y}{2x^2+y^4}$的值恒为同一常数。

已知二次型$f(x_1,x_2,x_3)=(1-a)x_1^2+(1-a)x_2^2+2x_3^2+2(1+a)x_1{x}_2$的秩为$2$。

已知$3$阶矩阵$A$的第一行是$(a,b,c)$，$a,b,c$不全为零，矩阵$B=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 6\\ 3& 6& k\end{array}\right)$（$k$为常数），且$AB=0$，求线性方程组$Ax=0$的通解。

设二维随机变量$(X,Y)$的概率密度为$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}1,& 0<x<1,0<y<2x,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$求：

设$X_1,X_2,\dots ,X_n(n>2)$为来自总体$N(0,1)$的简单随机样本，$\overline{X}$为样本均值，记$Y_i=X_i-\overline{X}(i=1,2,\dots ,n)$。求：

设$y=(1+\sin x{)}^x$，则$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}{|}_{x=\pi }=$ 。

曲线$y=\frac{(1+x{)}^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x}}$的斜渐近线方程为 。

${\int }_0^1\frac{x\mathrm{d}x}{(2-x^2)\sqrt{1-x^2}}=$ 。