真题库

当$x\to 0$时，$\alpha (x)=k{x}^2$与$\beta (x)=\sqrt{1+x\arcsin x}-\sqrt{\cos x}$是等价无穷小，则$k=$ 。

设函数$y=y(x)$由参数方程$\{\begin{array}{l}x=t^2+2t,\\ y=\ln (1+t)\end{array}$确定，则曲线$y=y(x)$在$x=3$处的法线与$x$轴交点的横坐标是（　　）。

设区域$D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 4,x\ge 0,y\ge 0\}$，$f(x)$为$D$上的正值连续函数，$a,b$为常数，则${\iint }_D\frac{a\sqrt{f(x)}+b\sqrt{f(y)}}{\sqrt{f(x)}+\sqrt{f(y)}},\mathrm{d}\sigma =$（　　）。

设函数$f(x)=\frac{1}{{\mathrm{e}}^{\frac{x}{(x-1)}}-1}$，则（　　）。

设函数$f(x)$连续，且$f(0)\ne 0$，求极限$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_0^x(x-t)f(t)\mathrm{d}t}{x{\int }_0^{x}f(x-t)\mathrm{d}t}$。

如图，$C_1,C_2$分别是$y=\frac{1}{2}(1+{\mathrm{e}}^x)$和$y={\mathrm{e}}^x$的图象，过点$(0,1)$的曲线$C_3$在第一象限内是一连续严格单调增函数的图象，其反函数$x=\varphi (y)$在$[1,+\infty )$上连续且严格递增，并满足$\varphi (1)=0$以及$0<\varphi (y)<\ln y$（$y>1$）。过$C_2$上横坐标大于零的任一点$M(x,y)$分别作垂直于$x$轴和$y$轴的直线$l_x,l_y$。记$C_1,C_2,l_x$所围图形的面积为$S_1(x)$；$C_2,C_3,l_y$所围图形的面积为$S_2(y)$。如果总有$S_1(x)=S_2(y)$，求曲线$C_3$的方程$x=\varphi (y)$。

用变量代换$x=\cos t(0<t<\pi )$化简微分方程$(1-x^2)y^{\prime \prime }-x{y}^{\prime }+y=0$，并求其满足$y{|}_{x=0}=1,y^{\prime }{|}_{x=0}=2$的特解。

已知函数$z=f(x,y)$的全微分$\mathrm{d}z=2x\mathrm{d}x-2y\mathrm{d}y$，并且$f(1,1)=2$。求$f(x,y)$在椭圆域$D=\{(x,y)\mid x^2+\frac{y^2}{4}\le 1\}$上的最大值和最小值。

计算二重积分${\iint }_D|x^2+y^2-1|,\mathrm{d}\sigma$，其中$D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,0\le y\le 1\}$。

确定常数$a$，使向量组${\alpha }_1=(1,1,a{)}^T,{\alpha }_2=(1,a,1{)}^T,{\alpha }_3=(a,1,1{)}^T$可由向量组${\beta }_1=(1,1,a{)}^T,{\beta }_2=(-2,a,4{)}^T,{\beta }_3=(-2,a,a{)}^T$线性表示，但向量组${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3$不能由向量组${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$线性表示。

极限$\underset{x\to \infty }{\lim }x\sin \frac{2x}{x^2+1}=$ 。

微分方程$x{y}^{\prime }+y=0$满足初始条件$y(1)=2$的特解为 。

设二元函数$z=x{\mathrm{e}}^{x+y}+(x+1)\ln (1+y)$，则$\mathrm{d}z{|}_{(1,0)}=$ 。

设行向量组$(2,1,1,1),(2,1,a,a),(3,2,1,a),(4,3,2,1)$线性相关，且$a\ne 1$，则$a=$ 。

设二维随机变量$(X,Y)$的概率分布见下表。已知随机事件$\{X=0\}$与$\{X+Y=1\}$相互独立，则
$a=$ 。
$b=$ 。

当$a$取下列哪个值时，函数$f(x)=2x^3-9x^2+12x-a$恰好有两个不同的零点（　　）。

设$I_1={\iint }_D\cos \sqrt{x^2+y^2},\mathrm{d}\sigma$，$I_2={\iint }_D\cos (x^2+y^2),\mathrm{d}\sigma$，$I_3={\iint }_D{\cos }^2(x^2+y^2),\mathrm{d}\sigma$，其中$D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 1\}$，则（　　）。

设$a_n>0(n=1,2,\dots )$，若$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$发散，$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{a}_n$收敛，则下列结论正确的是（　　）。

下列结论中正确的是（　　）。

设$f(x)=x\sin x+\cos x$，下列命题中正确的是（　　）。