真题库

以下四个命题中，正确的是（　　）。

设矩阵$A=(a_{ij}{)}_{3\times 3}$满足$A^{\ast }=A^T$，其中$A^{\ast }$是$A$的伴随矩阵，$A^T$为$A$的转置矩阵。若$a_{11},a_{12},a_{13}$为三个相等的正数，则$a_{11}$为（　　）。

设$A,B,C$均为$n$阶矩阵，$E$为$n$阶单位矩阵，若$B=E+AB$，$C=A+CA$，则$B-C$为（　　）。

设一批零件的长度服从正态分布$N(\mu ,{\sigma }^2)$，其中$\mu ,{\sigma }^2$均未知。现从中随机抽取$16$个零件，测得样本均值$\overline{x}=20\mathrm{cm}$，样本标准差$s=1\mathrm{cm}$，则$\mu$的置信度为$0.90$的置信区间是（　　）。

设$X_1,X_2,\dots ,X_n$为独立同分布的随机变量列，且均服从参数为$\lambda (\lambda >1)$的指数分布，记$\Phi (x)$为标准正态分布函数，则（　　）。

求$\underset{x\to 0}{\lim }(\frac{1+x}{1-{\mathrm{e}}^{-x}}-\frac{1}{x})$。

设$f(u)$具有二阶连续导数，且$g(x,y)=f(\frac{y}{x})+yf(\frac{x}{y})$，求$x^2\frac{{\partial }^{2}g}{\partial x^2}-y^2\frac{{\partial }^{2}g}{\partial y^2}$。

求$f(x,y)=x^2-y^2+2$在椭圆域$D=\{(x,y)\mid x^2+\frac{y^2}{4}\le 1\}$上的最大值和最小值。

求幂级数$\sum _{n=1}^{\infty }(\frac{1}{2n+1}-1)x^{2n}$在区间$(-1,1)$内的和函数$S(x)$。

设$f(x),g(x)$在$[0,1]$上的导数连续，且$f(0)=0,f^{\prime }(x)\ge 0,g^{\prime }(x)\ge 0$。证明：对任何$a\in [0,1]$，有${\int }_0^{a}g(x)f^{\prime }(x)\mathrm{d}x+{\int }_0^{1}f(x)g^{\prime }(x)\mathrm{d}x\ge f(a)g(1)$。

已知齐次线性方程组$(\mathrm{I})\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2+3x_3=0,\\ 2x_1+3x_2+5x_3=0,\\ x_1+x_2+a{x}_3=0\end{array}$和$(\mathrm{II})\{\begin{array}{l}{x}_1+b{x}_2+c{x}_3=0,\\ 2x_1+b^2{x}_2+(c+1)x_3=0\end{array}$同解，求$a,b,c$的值。

设$A$为三阶矩阵，${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$是线性无关的三维列向量，且满足$A{\alpha }_1={\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3,A{\alpha }_2=2{\alpha }_2+{\alpha }_3,A{\alpha }_3=2{\alpha }_2+3{\alpha }_3$。

设$D=\left(\begin{array}{cc}A& C\\ C^T& B\end{array}\right)$为正定矩阵，其中$A,B$分别为$m$阶、$n$阶对称矩阵，$C$为$m\times n$矩阵。

设二维随机变量$(X,Y)$的概率密度为$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}1,& 0<x<1,0<y<2x,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$，求：

设$X_1,X_2,\dots ,X_n(n>2)$为来自总体$N(0,{\sigma }^2)$的简单随机样本，其样本均值为$\overline{X}$，记$Y_i=X_i-\overline{X}(i=1,2,\dots ,n)$。求：

设$X_1,X_2,\dots ,X_n(n>2)$为来自总体$N(0,{\sigma }^2)$的简单随机样本，其样本均值为$\overline{X}$，记$Y_i=X_i-\overline{X}(i=1,2,\dots ,n)$。求：

曲线$y=\ln x$上与直线$x+y=1$垂直的切线方程为 。

已知$f^{\prime }({\mathrm{e}}^x)=x{\mathrm{e}}^{-x}$，且$f(1)=0$，则$f(x)=$ 。

设$L$为正向圆周$x^2+y^2=2$在第一象限中的部分，则曲线积分${\int }_{L}x\mathrm{d}y-2y\mathrm{d}x$的值为 。

欧拉方程$x^2\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}+4x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+2y=0(x>0)$的通解为 。