真题库

设矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$，矩阵$B$满足$AB{A}^{\ast }=2B{A}^{\ast }+E$，其中$A^{\ast }$为$A$的伴随矩阵，$E$是单位矩阵，则$|B|=$ 。

设随机变量$X$服从参数为$\lambda$的指数分布，则$P\{X>\sqrt{DX}\}=$ 。

把$x\to 0^{+}$时的无穷小量$\alpha ={\int }_0^x\cos t^2\mathrm{d}t$，$\beta ={\int }_0^{x^2}\tan \sqrt{t}\mathrm{d}t$，$\gamma ={\int }_0^{\sqrt{x}}\sin t^3\mathrm{d}t$排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（　　）。

设函数$f(x)$连续，且$f^{\prime }(0)>0$，则存在$\delta >0$，使得（　　）。

设$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$为正项级数，下列结论中正确的是（　　）。

设$f(x)$为连续函数，$F(t)={\int }_1^t\mathrm{d}y{\int }_y^{t}f(x)\mathrm{d}x$，则$F^{\prime }(2)$等于（　　）。

设$A$是$3$阶方阵，将$A$的第$1$列与第$2$列交换得$B$，再把$B$的第$2$列加到第$3$列得$C$，则满足$AQ=C$的可逆矩阵$Q$为（　　）。

设$A$，$B$为满足$AB=O$的任意两个非零矩阵，则必有（　　）。

设随机变量$X$服从正态分布$N(0,1)$，对给定的$\alpha$（$0<\alpha <1$），数$u_{\alpha }$满足$P\{X>u_{\alpha }\}=\alpha$，若$P\{|X|<x\}=\alpha$，则$x$等于（　　）。

设随机变量$X_1,X_2,\cdots ,X_n$（$n>1$）独立同分布，且其方差为${\sigma }^2>0$。令$Y=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$，则（　　）。

设$\mathrm{e}<a<b<{\mathrm{e}}^2$，证明${\ln }^{2}b-{\ln }^{2}a>\frac{4}{{\mathrm{e}}^2}(b-a)$。

某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下。现有一质量为$9000\mathrm{kg}$的飞机，着陆时的水平速度为$700\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$。经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为$k=6.0\times 10^6$）。问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？（注：kg表示千克，km/h表示千米/小时。）

计算曲面积分$I={\iint }_{\Sigma }2x^3\mathrm{d}y\mathrm{d}z+2y^3\mathrm{d}z\mathrm{d}x+3(z^2-1)\mathrm{d}x\mathrm{d}y,$其中$\Sigma$是曲面$z=1-x^2-y^2(z\ge 0)$的上侧。

设有方程$x^n+nx-1=0$，其中$n$为正整数。证明此方程存在惟一正实根$x_n$，并证明当$\alpha >1$时，级数$\sum _{n=1}^{\infty }{x}_n^{\alpha }$收敛。

设$z=z(x,y)$是由$x^2-6xy+10y^2-2yz-z^2+18=0$确定的函数，求$z=z(x,y)$的极值点和极值。

设有齐次线性方程组$\{\begin{array}{l}(1+a)x_1+x_2+\cdots +x_n=0,\\ 2x_1+(2+a)x_2+\cdots +2x_n=0,\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ n{x}_1+n{x}_2+\cdots +(n+a)x_n=0,\end{array}(n\ge 2).$试问$a$取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解。

设矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -3\\ -1& 4& -3\\ 1& a& 5\end{array}\right)$的特征方程有一个二重根，求$a$的值，并讨论$A$是否可相似对角化。

设$A$，$B$为随机事件，且$P(A)=\frac{1}{4}$，$P(B|A)=\frac{1}{3}$，$P(A|B)=\frac{1}{2}$。令$X=\{\begin{array}{ll}1,& A\text{发生},\\ 0,& A\text{不发生};\end{array}Y=\{\begin{array}{ll}1,& B\text{发生},\\ 0,& B\text{不发生}.\end{array}$求：

设总体$X$的分布函数为$F(x,\beta )=\{\begin{array}{ll}1-\frac{1}{x^{\beta }},& x>1,\\ 0,& x\le 1,\end{array}$其中未知参数$\beta >1$，$X_1,X_2,\cdots ,X_n$为来自总体$X$的简单随机样本，求：

设$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(n-1)x}{n{x}^2+1}$，则$f(x)$的间断点为$x=$ 。