真题库

设函数$y(x)$由参数方程$\{\begin{array}{l}x=t^3+3t+1\\ y=t^3-3t+1\end{array}$确定，则曲线$y=y(x)$向上凸的$x$取值范围为 。

${\int }_1^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{x^2-1}}=$ 。

设函数$z=z(x,y)$由方程$z={\mathrm{e}}^{2x-3z}+2y$确定，则$3\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=$ 。

微分方程$(y+x^3)\mathrm{d}x-2x\mathrm{d}y=0$满足$y{|}_{x=1}=\frac{6}{5}$的特解为 。

设$f(x)=|x(1-x)|$，则（　　）。

$\underset{n\to \infty }{\lim }\ln \sqrt[n]{(1+\frac{1}{n}{)}^2(1+\frac{2}{n}{)}^2\cdots (1+\frac{n}{n}{)}^2}$等于（　　）。

微分方程$y^{\prime \prime }+y=x^2+1+\sin x$的特解形式可设为（　　）。

设函数$f(u)$连续，区域$D=\{(x,y)|x^2+y^2\le 2y\}$，则${\iint }_{D}f(xy)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$等于（　　）。

求极限$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^3}[(\frac{2+\cos x}{3}{)}^x-1]$。

设函数$f(x)$在$(-\infty ,+\infty )$上有定义，在区间$[0,2]$上，$f(x)=x(x^2-4)$，若对任意的$x$都满足$f(x)=kf(x+2)$，其中$k$为常数。

设$f(x)={\int }_x^{x+\frac{\pi }{2}}|\sin t|\mathrm{d}t$。

曲线$y=\frac{{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}}{2}$与直线$x=0$，$x=t$（$t>0$）及$y=0$围成一曲边梯形。该曲边梯形绕$x$轴旋转一周得一旋转体，其体积为$V(t)$，侧面积为$S(t)$，在$x=t$处的底面积为$F(t)$。

设$z=f(x^2-y^2,{\mathrm{e}}^{xy})$，其中$f$具有连续二阶偏导数，求$\frac{\partial z}{\partial x}$，$\frac{\partial z}{\partial y}$，$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}$。

设有齐次线性方程组$\{\begin{array}{l}(1+a)x_1+x_2+x_3+x_4=0,\\ 2x_1+(2+a)x_2+2x_3+2x_4=0,\\ 3x_1+3x_2+(3+a)x_3+3x_4=0,\\ 4x_1+4x_2+4x_3+(4+a)x_4=0.\end{array}$试问$a$取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解。

若$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{{\mathrm{e}}^x-a}(\cos x-b)=5$，则
$a=$ ，
$b=$ 。

设$y=\arctan {\mathrm{e}}^x-\ln \sqrt{\frac{{\mathrm{e}}^{2x}}{{\mathrm{e}}^{2x}+1}}$，则$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}{|}_{x=1}=$ 。

函数$f(u,v)$由关系式$f[xg(y),y]=x+g(y)$确定，其中函数$g(y)$可微，且$g(y)\ne 0$，则$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial u\partial v}=$ 。

设$f(x)=\{\begin{array}{ll}x{\mathrm{e}}^{x^2},& -\frac{1}{2}\le x<\frac{1}{2},\\ -1,& x\ge \frac{1}{2},\end{array}$，则${\int }_{\frac{1}{2}}^{2}f(x-1)\mathrm{d}x=$ 。

设$A=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$，$B=P^{-1}AP$，其中$P$为三阶可逆矩阵，则$B^{2004}-2A^2=$ 。

二次型$f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2{)}^2+(x_2-x_3{)}^2+(x_3+x_1{)}^2$的秩为 。