真题库

设$A=(a_{ij}{)}_{3\times 3}$是实正交矩阵，且$a_{11}=1$，$b=(1,0,0{)}^T$，则线性方程组$Ax=b$的解是 。

设$n_1,n_2$为正整数，且$n_1+n_2>2$。设总体$X$服从正态分布$N({\mu }_1,{\sigma }^2)$，总体$Y$服从正态分布$N({\mu }_2,{\sigma }^2)$，$X_1,X_2,\cdots X_{n_1}$和$Y_1,Y_2,\cdots Y_{n_2}$分别是来自总体$X$和$Y$的简单随机样本，则$E[\frac{\sum _{i=1}^{n_1}(X_i-\overline{X}{)}^2+\sum _{j=1}^{n_2}(Y_j-\overline{Y}{)}^2}{n_1+n_2-2}]=$ 。

函数$f(x)=\frac{|x|\sin (x-2)}{x(x-1)(x-2{)}^2}$在下列哪个区间内有界（　　）。

设$f(x)$在$(-\infty ,+\infty )$内有定义，且$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=a$，$g(x)=\{\begin{array}{ll}f(\frac{1}{x}),& x\ne 0;\\ 0,& x=0.\end{array}$则（　　）。

设有下列命题：①若$\sum _{n=1}^{\infty }(u_{2n-1}+u_{2n})$收敛，则$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛。②若$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛，则$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_{n+1000}$收敛。③若$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_{n+1}}{u_n}>1$，则$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$发散。④若$\sum _{n=1}^{\infty }(u_n+v_n)$收敛，则$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$，$\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n$都收敛。则以下命题中正确的是（　　）。

设$f(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x>0,\\ 0,& x=0,\\ -1,& x<0,\end{array}$，$F(x)={\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$，则（　　）。

设$f^{\prime }(x)$在$[a,b]$上连续，且$f^{\prime }(a)>0,f^{\prime }(b)<0$，则下列结论中错误的是（　　）。

设$n$阶矩阵$A$与$B$等价，则必有（　　）。

设$n$阶矩阵$A$的伴随矩阵$A^{\ast }\ne 0,$若${\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3,{\xi }_4$是非齐次线性方程组$Ax=b$的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组$Ax=0$的基础解系（　　）。

求$\underset{x\to 0}{\lim }(\frac{1}{{\sin }^{2}x}-\frac{{\cos }^{2}x}{x^2})$。

求${\iint }_D(\sqrt{x^2+y^2}+y)\mathrm{d}\sigma$，其中$D$是由圆$x^2+y^2=4$和$(x+1{)}^2+y^2=1$所围成的平面区域（如图所示）。

设$f(x)$，$g(x)$在$[a,b]$上连续，且满足${\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t\ge {\int }_a^{x}g(t)\mathrm{d}t,x\in [a,b),{\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t={\int }_a^{b}g(t)\mathrm{d}t.$证明：${\int }_a^{b}xf(x)\mathrm{d}x\le {\int }_a^{b}xg(x)\mathrm{d}x$。

设$f(u,v)$具有连续偏导数，且满足$f_u^{\prime }(u,v)+f_v^{\prime }(u,v)=uv$。

设某商品的需求函数为$Q=100-5P$，其中价格$P\in (0,20)$，$Q$为需求量。

设级数$\frac{x^4}{2\cdot 4}+\frac{x^6}{2\cdot 4\cdot 6}+\frac{x^8}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}+\cdots (-\infty <x<+\infty )$的和函数为$S(x)$。求：

设$F(x)=\{\begin{array}{ll}{\mathrm{e}}^{2x},& x\le 0,\\ {\mathrm{e}}^{-2x},& x>0,\end{array}$，$S$表示夹在$x$轴与曲线$y=F(x)$之间的面积。对任何$t>0$，$S_1(t)$表示矩形$-t\le x\le t,0\le y\le F(t)$的面积。求：

设线性方程组$\{\begin{array}{l}{x}_1+\lambda x_2+\mu x_3+x_4=0,\\ 2x_1+x_2+x_3+2x_4=0,\\ 3x_1+(2+\lambda )x_2+(4+\mu )x_3+4x_4=1.\end{array}$已知$(1,-1,1,-1{)}^T$是该方程组的一个解，试求：

设${\alpha }_1=(1,2,0{)}^T$，${\alpha }_2=(1,a+2,-3a{)}^T$，${\alpha }_3=(-1,-b-2,a+2b{)}^T$，$\beta =(1,3,-3{)}^T$，试讨论当$a,b$为何值时，

设三阶实对称矩阵$A$的秩为$2$，${\lambda }_1={\lambda }_2=6$是$A$的二重特征值。若${\alpha }_1=(1,1,0{)}^T$，${\alpha }_2=(2,1,1{)}^T$，${\alpha }_3=(-1,2,-3{)}^T$都是$A$的属于特征值$6$的特征向量。

设$n$阶矩阵$A=\left(\begin{array}{cccc}1& b& \cdots & b\\ b& 1& \cdots & b\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ b& b& \cdots & 1\end{array}\right)$。